アインシュタインの一般相対性理論 10話で完結 その3

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アインシュタインの一般相対性理論　10話で完結　その2

（つづく）

アインシュタインの一般相対性理論　10話で完結　その4

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前回の記事で、アインシュタイン方程式とは、歪んだ膜（世界）の様子を数式であらわしたもの・・・と、述べました。

では、たとえば、下図のように、曲がった膜（世界）があるとして

こんな曲面、どんな数式で表現したらいいのでしょう？

少し数学に詳しい人なら、２変数関数とか偏微分や全微分をつかえばいいのでは？と思うかもしれません。

しかし、アインシュタインが必要としたのは、もっと複雑な数学でした（曲面そのものの式というより、曲面の上に描かれたグラフとかベクトルの式・・・みたいな）。

いろいろな記録によると、アインシュタインも

「これは、むずかしいなぁ・・・」

と感じていたようです。

ところがラッキーなことに、アインシュタインの時代には、すでに天才数学者たちがそういう難しい問題を解決していたのです。

その式はこんな感じです。

∇ = ∂ + Γ

えっと・・・めっちゃくちゃ省略しました！！！（;´▽｀A``）

もともとの式は複雑すぎて気持ちが萎えるので見ないほうがいいです（注１）。

天才アインシュタインもこの式を理解するのに四苦八苦したようですし・・・

専門家でもない限り、この式の意味とか式の成り立ちとか、あまり気にしないほうがいいでしょう（￣－￣） 。

（こんなこと言うと、専門家の先生に怒られそうですが・・・）

それよりもっと大事なことがあります。

「∇」とか「∂」とか「Γ」とか、何やら意味不明な記号がならんでいますが、

「∇」と「∂」の差が、 Γ （ガンマ）です。

この Γ （ガンマ）が、アインシュタイン方程式につながる「最大の鍵」になります。

初学者は、とりあえず「∇」と「∂」は、ほっといていいです。

では、「Γ」とは何か？

・・・と問われると、

そのイメージをちょっとだけ絵にしてみると、こんな感じです。

（膜に描かれた黄色の線を外の世界からみた絵。薄い青線：外の世界からみた膜の内部の座標線。膜の内部世界では、この青い座標戦は等間隔で平行な直線です。外から見ると、それがこんなに曲がってみえます。膜の内部世界からみた黄色の線の曲がりはその分を差し引いて考えなければなりません）

う～む。絵にしたところで意味不明かもですね・・・（汗）

曲面世界の上に描かれた黄色い線を、二つの方法（曲面の外からみた計算「∇」と曲面の中からみた計算「∂」）で微分すると、その差がガンマ（Γ）になる・・・という絵です。

ま、わからなくたって大丈夫。

アインシュタイン方程式を理解するにあたり、一般人にとって重要なことはひとつです。

それは・・・

Γ（ガンマ） ＝　膜（世界）の曲がり

をあらわしているってこと（下図）。

（「∇」と「∂」の差が、世界の曲がり ＝「ガンマ（Γ）」をあらわす）

Γ（ガンマ）によって、膜（世界）の曲がりがあらわされます。

あなたが初学者なら、とりあえず、この Γ（ガンマ）の意味だけを知っておけばいいと思います。

この際、「∇」や「∂」は忘れましょう！

（なんて言うと、ますます、専門家の先生に怒られそうですが・・・）

いいですか？

もし「∇」と「∂」が一致していれば、膜（世界）は曲がっていません（下図）。

このようなとき、世界は「平坦である」と言います。

世界が平坦であれば、

Γ（ガンマ）= 0

です。

反対に、もし膜（世界）が曲がっていれば、Γ（ガンマ）はゼロになりません。

ここは、アインシュタイン方程式を理解するうえでの核心中の核心ポイントだと思いますので、もう一度、繰り返します。

もし、膜（世界）が曲がっていると「∇」と「∂」が一致せず、Γ（ガンマ）はゼロになりません。

（わかりやすさを優先するため、かなりデフォルメして書いています）

あなたが専門家や数式マニアでもない限り、

∇ = ∂ + Γ

の式の成り立ちなどに深入りする必要はないと思います。

非専門家や一般人にとって重要なポイントは、

 Γ（ガンマ）によって 膜の曲がり をあらわすことができる

ということです。

これだけです。

こんな説明、他にないとおもいますが・・・（汗）

そして・・・むしろ、ここからがアインシュタインのすごいところなんですが、

アインシュタインは、

この Γ（ガンマ）の値を一発で計算する、いわば Γ（ガンマ）の

"解の公式"

みたいなものを必死になって探し求めました。

素人的には、Γ（ガンマ）の値を知りたいのなら、「∇」と「∂」を別々に計算し、その差を調べればすむこと、すなわち

Γ = ∇ - ∂

と計算すればすぐわかるじゃん？・・・という気がしますが、

それではダメだったようで、アインシュタインは複数の数学者に頼んだりして、やっとの思いで

Γ（ガンマ）の "解の公式" を手に入れたそうです（この式も気持ちが萎えるので見ないほうがいいです（注２））。

アインシュタインが抱いた Γ（ガンマ）への強いこだわり。

いったい何が彼をそこまで Γ（ガンマ）にこだわらせたのでしょう？

理由があります。

（続き）

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（つづく）

アインシュタインの一般相対性理論　10話で完結　その4

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アインシュタインの一般相対性理論　10話で完結　その2

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（注１）この数式は見ないほうがいい・・・と書きましたが、怖いもの見たさで興味ある人のために紹介すると次のような式になります。

どうでしょう？複雑すぎて意味わからないですよね？

この数式がサッと分かる人は本記事なんか読んでいないと思いますし、そうでない人は、この式をみてもわけがわからないはずです。

しかしアインシュタインは、当時、自分の専門外である数学の論文の中からこの式を発見し「これだ！」と見抜いたわけで・・・友人の数学者に手伝ってもらったとはいえ、すごいとしか言いようがありません。

添字（α、β、γなど）をすべて省き、式をデフォルメして書くとこうなります。

つまるところ、曲面の上に描かれたベクトル（ｖ）に関する式なんです。

本文中にも述べましたが、Γ（ガンマ）は、 ∇（共変微分）と ∂（偏微分）の差をあらわします。

非専門家にとって大事なのは、 Γ（ガンマ）です。非専門家がアインシュタイン方程式を理解するのに、それ以上のことはとりあえず、知る必要はありません。

でも、少しは ∇（共変微分）や ∂（偏微分）の意味も知ってみたい・・・という全くの初学者には "眼鏡とペンのアナロジー" がわかりやすいと思います。

ちょっと想像してみてください。目の前にペンがあります。あなたはそのペンをみています。もしそのペンが曲がってみえたら？

ペンそのものが曲がっているのでは？とまずは考えますよね？それがふつうです。しかし、実はあなたは眼鏡をかけています。すると、眼鏡の歪みのせいで曲がってみえているのでは？・・・とも考えられますよね。これが共変微分のアイデアにつながります。眼鏡をとおして見えているペンの曲がりがふつうの微分（偏微分「∂」）に相当します（内部世界）。一方、眼鏡をはずしてみたときのペンの曲がりは共変微分「∇」に相当します（外部世界）。 もし「∂」と「∇」に差があれば、その差が眼鏡によってつくられた空間（内部世界）の歪み： Γ（ガンマ）です。

天才数学者たちは、眼鏡をかけた状態でのペンの曲がり「∂」と眼鏡をはずしたときのペンの曲がり「∇」の差を Γ（ガンマ）とし、それでメガネの曲率を表そうという高度な空間幾何学を構築していました。

アインシュタインはそのアイデアに飛びついたわけですが、眼鏡をはずしたり、かけたりする部分がどうも気に入らなかったらしく、眼鏡をかけたまま Γ（ガンマ）を知ることができないか？と考えたのです。

共変微分についてもう少し深入りしたい方はこちらもどうぞ。

（注２）この式も見ないほうがいいと思いますが、興味ある人（怖いもの見たさ？）のために書くと次のような式になります。

意味がわかりませんよね？

添字（α、β、γ、δなど）をすべて省き、式をデフォルメして書くとこうなります。

いわゆる「計量テンソル（g）」に関する式です。

について知りたい方は → こちらへ「計量テンソル」

数学の世界では、曲がった世界（面）の上の一点一点に「計量テンソル（g）」という値が設定されている・・・ そういう前提があります。

その「計量テンソル（g）」の変化の様子（∂）さえわかれば、 Γ（ガンマ）の値を一発で計算できる、というわけです。

共変微分（∇）の必要はありません。

この公式を使えば、非常にカンタンに Γ（ガンマ）の値を計算できます。

おもしろいと思うのは、アインシュタインの思考回路です。

思考が逆、というか・・・

どういうことかというと、ふつう数学のテキストなどでは、まず最初に「グラフ」が与えられます。

そして、曲面の「計量テンソル（g）」を求めるのがゴールです。

少し具体的にいうと、たとえば、数学の専門書では、曲面上のグラフが、２つの座標を使った式であらわされます。

２つの座標問うのは、絶対座標（外部世界）と、曲面上の座標（内部世界）です。

この２つの座標であらわされたグラフの式から、それぞれ共変微分（∇）と偏微分（∂）を計算し、その差をとって Γ（ガンマ）を求めます。

その Γ（ガンマ）をもとに、最終的に曲面上の「計量テンソル（g）」を求めていく・・・

という思考の流れです。すなわち「計量テンソル（g）」を求めるのがゴールです。

しかし、

アインシュタインは逆です。最初に、曲面の「計量テンソル（g）」を手にします。そこから、"解の公式" 一発で （ガンマ）を求めてしまいます。そうして得られた Γ（ガンマ）とグラフの偏微分（∂）から、グラフの共変微分（∇）を求めます。すると、絶対座標系（外部世界）からみたグラフの式が得られます。

つまり、アインシュタインにとってのゴールは、絶対座標系（外部世界）であらわされたグラフの式です・・・

「計量テンソル（g）」とは、最後に求めるものだと思ってしまうと、この思考の反転に戸惑うかもしれません。

「計量テンソル（g）」を最初に手に入れる？　どうやって「計量テンソル（g）」を手に入れるの？

と。

しかし、よくよく考えてみると、曲面の「計量テンソル（g）」は、曲面そのものを、直接、観察すればわかるはずのものです。

みなさんの中には、「グラフの傾き」をみただけで、「グラフの式」を想像できる人っていますよね？

同じように「計量テンソル（g）」をみただけで、「曲面の式」を想像できる人たちがいるのではないでしょうか。

「計量テンソル（g）」ナニナニの曲面とか・・・

（傾きナニナニのグラフ・・・みたいに）

実は、アインシュタイン方程式とは、その「計量テンソル（g）」を最初にゲットするための方程式です。

今はちょっと何言ってるのかわからないかもしれませんが、アインシュタイン方程式を、ひとことで言えば、あるエネルギー（＝質量、物体）のまわりの「計量テンソル（g）」を求めるための方程式なんです。

「は？」

という感じかもしれませんが、アインシュタイン方程式を使うと、太陽のまわりの「計量テンソル（g）」などを計算できるようになります。

みたことも行ったこともない星・・・たとえばブラックホールのまわりの「計量テンソル（g）」さえ計算することができます。

すると、それをみただけで、「おぉ、ブラックホールのまわりはこんな感じに曲がってるのか！？」などと楽しむことができる・・・マニアな人たちがいると思います。

その人たちは、まず最初に、ブラックホールのまわりの「計量テンソル（g）」から "解の公式" を使って一発で Γ（ガンマ）を求めてしまいます。

すると、たとえばブラックホールの内部で描かれた直角三角形や放物線が、ブラックホールの外（ブラックホールから遠く離れた地球）からみてどんな形にみえるのかが、最終的に、わかるのです。

はい、今はまだ意味が分からなくても大丈夫です。

おそらく、そんなマニアな人たちの界隈では、もはや「計量テンソル（g）」は、天下り式に与えられるものだと思います。

超マニアな世界です。

ところで、アインシュタインはとても運がいいと思います。

アインシュタインがこの Γ（ガンマ）の"解の公式"を探し始めたとき、この Γ（ガンマ）の "解の公式" は、すでに数学専門の論文に発表されていたのです。

それを、よくみつけたな、と思います。

なぜなら、 Γ（ガンマ）の "解の公式" が論文化されていることなど、当時のアインシュタインには知る由もなかったはずです。

当時は今のようにコンピューターで論文を検索できる時代でもありません。

アインシュタインは友人の数学者などに手伝ってもらいながら、数学の専門論文を検索し、あるかどうかもわからないこの Γ（ガンマ）の "解の公式" を必死になって探し求めたそうです。

最終的にこの式を発見した時はかなりうれしかったのではないでしょうか？

運がいいというか、自分が必要なもの、探すべきものがわかっているというのはさすがだとおもいます。

ここから先は、アインシュタインが Γ（ガンマ）の"解の公式"を探した理由になります。

その理由は、この Γ（ガンマ）の "解の公式" にある特徴です。

前述したように、

式の中、すべてが偏微分 ∂ のみで、どこをみても共変微分 ∇ が含まれていませんよね？

つまり、前述したように「計量テンソル（ｇ）」という情報さえ手に入れば、この式を使って、共変微分 ∇ なしに Γ（ガンマ）を一発で求めることができます。

というか・・・

アインシュタインは最初から共変微分 ∇ を含まない Γ（ガンマ）の式にこだわっていたのでしょう。

（だから、Γ = ∇ - ∂ では意味がなかったんですね）

しかし、ではなぜ「共変微分 ∇ を含まないこと」にこだわったのでしょうか？

共変微分 ∇ を少し難しく表現すると、１次元うえの視点（膜の外にある座標軸）を利用した微分です。

三次元世界が歪んでいるかどうかを判断するのに４次元世界にある座標を使う、みたいなイメージです。

たとえると、地球の表面がどのように曲がっているかどうかを表現するのに、表面から離れ、地球の外に設定された座標軸を利用するイメージです（鳥の視点"bird's view"とかいったりします）。

共変微分 ∇ を実行するためには、座標系を世界の外に設定する必要があります（専門用語でこれを "外在的（extrinsic）" といったりします）。

考えてみれば、これは直感的にもわかりやすい話で、

面の曲がりをあらわすには、面の外からみた視点が必要だろう・・・

と考えるのはふつうのことです。

そうやって、世界の外側からみた共変微分 ∇ と、世界の内側からみた偏微分 ∂ の差を Γ（ガンマ）とするわけです。

しかしアインシュタインは、それじゃぁ、ダメだ

と考えました。

この世界の内側の情報だけで Γ（ガンマ）を求めたい！

と考えたわけです。

地球の表面が曲がっているかどうかを、外の世界に飛び出さず、地表にいながら判断したい・・・

みたいな感じです（虫の視点"bug's view"といったりします。前述した眼鏡のたとえで言うと、眼鏡をかけて見えるのがインナー世界、bug's view です）。

そして、ついにアインシュタインは、共変微分 ∇ が含まれない Γ（ガンマ）の式を手に入れたのです。

共変微分 ∇ が含まれない

ってことは、その式をつかえば、誰でも自分の世界の内側にいながら Γ（ガンマ） を計算できることを意味します（専門用語では、これを "Γは内在的（intrinsic）である" といったりします）。

そうすると、世界の内側にいながら、この世界を外側からみた様子（共変微分 ∇ の結果など）を想像することができます・・・

この世界がどのように曲がっているかどうかを、この世界の中から表現する

というのは、一見、不可解な気がします。しかし、できるのです。

これには専門家も驚いたようで、

専門家に言わせると「驚異の定理」と呼ばれるほど驚くべきことなんだそうです（けど、別に驚かなくても大丈夫です (^y^)）。

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（つづく）

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