E = mc2の式 アインシュタインの特殊相対性理論 一歩すすんで理解する ２

１．運動している物体（静止質量m₀、運動中の質量ｍ、速度＝ｖ）

まず

運動している物体の総エネルギーを計算してみましょう。

運動中の物体の質量 =m、速度 =vのとき、運動量 p は、

p = mv

であらわされます。

また、アインシュタインの相対性理論によると、運動中の物体の質量 m と静止質量 m₀ には

m = m₀/(1 – v²/c²)^1/2

の関係があります。

（えっ？質量って運動中と静止してるときで違うの？とか、運動中の物体の質量なんて、どうやって測るの？という質問はアインシュタインさんにきいてください（→∵）

これらを前述の「総エネルギーの式」に代入します！

そうすると・・・

E² = (m₀c²)² + (pc)²

E² = m²(1 – v²/c²)c⁴ + (mv)²c²

E² = m²c⁴ – m²v²c² + m²v²c²

E² = m²c⁴

E = mc²　　←　(v^ー゜)ヤッタネ!!

つまり

静止質量 m₀ のかわりに

運動質量 m を使うと

E² = (m₀c²)² + (pc)²

の式が

E = mc²

となることがわかります！

＼(^o^)／

このように、

運動している物体では、運動中の質量 m を使うと、あの有名な「E = mc²」の式になります。

え？でも、運動中のエネルギーを表す式なのに、式の中に速度 v が入っていない・・・？

なぜでしょう？

はい。相対性理論によると、速度 v に応じて運動質量 m が増加します。つまり、速度 v は質量 m に含まれてしまっているんですね！

ちなみに

この運動中の物体の総エネルギーを、あえて静止質量 m₀ を用いてあらわすと、びっくりするような式になります。

それは

E = m₀c²

ではありません(･oﾉ)ﾉ

上記で得られた

E = mc²

に、アインシュタインによる運動中の物体の質量 m と、静止質量 m₀ の関係式

m = m₀ /(1 – v²/c²)^1/2

を代入して得られた式・・・

E = m₀c²/(1 – v²/c²)^1/2

これが

運動中の物体の総エネルギーを、その物体の静止質量 m₀ を用いてあらわした式になります！

え？

全然びっくりできないって？

いえいえ！

実は・・・

この式をテイラー展開すると、すごいことがおこるんです。

E = m₀c²/(1 – v²/c²)^1/2

　　　↓

テイラー展開（公式を使います）

　　　↓

E = m₀c² + (1/2) m₀v² + (3/8) m₀v⁴/c² + (5/16) m₀v⁶/c⁴ + ・・・（省略）・・・

ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!

この式・・・もう一度書きますから、よーくみてください。

E = m₀c² + (1/2) m₀v² + (3/8) m₀v⁴/c² + (5/16) m₀v⁶/c⁴ + ・・・（省略）・・・

v<<cのとき、右辺の第三項以降は実はほぼゼロになるので薄くしました。

すなわち

時速１０００kmぐらいまでの通常のスピード（v<<c）のときには、運動中の総エネルギーは静止質量m₀を用いて、次のようにあらわせるんです。

E = m₀c² + (1/2) m₀v²

ｼﾞｬ━(ノ∀｀〃)ゞ━ﾝ♪

これが、

運動中の総エネルギーを、静止質量 m₀ を用いてあらわした式

です！！！（ただしv<<c）

残念ながら

E = m₀c²

の式にはなりませんでしたね。

でも・・・

気がつきましたか？(￣ー￣)ﾆﾔﾘ

この式の第二項は、有名なニュートン力学の運動エネルギーの式

運動エネルギー = (1/2) m₀v²

になっています！

そして・・・

第一項のm₀c²は、実は

次のページで解説していますが、運動していない物体（静止物体）の

静止エネルギー = m₀c²

なんです。

つまり、アインシュタインの式

E² = (m₀c²)² + (pc)²

は、v<<cのときには、

E = m₀c² + (1/2) m₀v²

つまり、

（総エネルギー）＝（静止エネルギー）＋（運動エネルギー）

になる・・・

ということ。

わかりやすくいうと、そんなに速くない運動（v<<c）の世界においては、

（総エネルギー）² ＝ （静止エネルギー）² ＋（運動エネルギー）²

の式にある各項の２乗がはずれて

（総エネルギー） ＝ （静止エネルギー）＋（運動エネルギー）

とあらわせる・・・

ということです！（注１）

結局・・・

ニュートン力学の範囲（v<<c）においては、運動によって変化しないエネルギー 「m₀c²」をゼロとみなし、運動によって変化するエネルギー部分のみを

力学的運動エネルギー ＝ (1/2) m₀v²

として認識していたのですね！

すごいと思いませんか？

運動エネルギーの式にくっついてくる係数（1/2）は何かと思ったら、実は相対性理論をテイラー展開した時にでてくる係数だったわけです・・・

しかも運動エネルギーって正確には、

(1/2) m₀v² より、ちょっとだけ大きい、

(1/2) m₀v² + (3/8) m₀v⁴/c² + (5/16) m₀v⁶/c⁴ + ・・・（省略）・・・

だったんです！

運動エネルギー = (1/2) m₀v² というのは実は概算だったわけで、ニュートンの式はちょっとだけ運動エネルギーを過小評価している・・・

一歩すすんだ理解です(*^ーﾟ)b

アインシュタインの総エネルギーの式

E² = (m₀c²)² + (pc)²

から、ニュートン方程式である

運動エネルギー ＝ (1/2) m₀v²

が導けるなんて・・・

ニュートンの当時は、運動に関係した｢力学的エネルギー｣のみが観測可能であり、まさか物体がそこに存在するために必要なエネルギー（m₀c²）があるなんて・・・天才ニュートンをしても思いもつかなかったというわけですね！

なんで E = (1/2)mc² じゃないんだろ・・・？(´ヘ｀;)　なんて考え悩んでいる人も、これですべて解決ですね('v`ｂ)。

次回は、静止している物体の総エネルギーについて解説します。続きをお楽しみに。

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（つづき）

E = mc2の式　アインシュタインの特殊相対性理論　一歩すすんで理解する　３

（もどる）

E = mc2の式　アインシュタインの特殊相対性理論　一歩すすんで理解する　１

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・‥…━━━☆

（注１）

Momentum energy（運動エネルギー）と、Kinetic energy（運動エネルギー）の関係を図示してみます。

Momentum energyとKinetic energyを両方とも「運動エネルギー」とよぶことが気になるならば、

ここは、

物体の速度が光速より十分に遅い場合

（総エネルギー）² ＝ （静止エネルギー）² ＋（Momentum Energy）²

の式にある各項の２乗がはずれて

（総エネルギー） ＝ （静止エネルギー）＋（Kinetic Energy）

となる・・・

と、読んでください。

図からわかるように、

物体の速度が光速より十分に遅い場合（＝三角形の高さが十分に低い場合）、

相対論的運動エネルギーは、古典的運動エネルギーで近似できます。

つまり、運動エネルギーを次のように、

古典的運動エネルギー（Classical Kinetic Energy）＝(1/2) m₀v²

相対論的運動エネルギー（Relativistic Kinetic Energy）＝(1/2) m₀v² + (3/8) m₀v⁴/c² + (5/16) m₀v⁶/c⁴ + ・・・（省略）・・・

と２種類認めれば、物体の速度が光速より十分に遅い場合には

（総エネルギー） ＝ （静止エネルギー）＋（Classical Kinetic Energy）

が成り立ち、

（総エネルギー） ＝ （静止エネルギー）＋（Relativistic Kinetic Energy）

は常になりたつといえます。

（総エネルギー）² ＝ （静止エネルギー）² ＋（Momentum Energy）²

も常に成り立ちます。

また、次の図からも明らかなように、いわゆるローレンツ因子（γ）とは、直角三角形の底辺に対する斜辺の長さにすぎません。

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