２変数関数の微分について

この記事は、１変数関数ではなく２変数関数の話です。

２変数関数には

スカラー値関数（Scalar valued function）

と

ベクトル値関数（Vector valued function）

があります。

線素にも、スカラー線素（Line element scalar）とベクトル線素（Line element vector）の２種類があるので、結局、２変数関数に対しては、以下の４つの微分を考えることができます。

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微分１．スカラー値関数（Scalar valued function）をスカラー線素（Line element scalar）で微分する

微分２．ベクトル値関数（Vector valued function）をスカラー線素（Line element scalar）で微分する

微分３．スカラー値関数（Scalar valued function）をベクトル線素（Line element vector）で微分する

微分４．ベクトル値関数（Vector valued function）をベクトル線素（Line element vector）で微分する

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微分１は、ふつうの「偏微分」です。

微分２は、ふつうの「ベクトル場の微分」です。

微分３は、なんというのかわかりませんが、結果はいわゆる「勾配ベクトル」になります。

微分４は、・・・難しいです。。。

今回、ちょっとこれらについて考察してみました。

そもそも・・・

（ｘ，ｙ）からなる２変数のスカラー値関数（Scalar valued function）とはどんなものかというと・・・

のような式になります。

（ｘ，y）に数値を入れると、ある数値（スカラー）がでてくる式になります。

こんな２変数スカラー値関数（Scalar valued function）が何をあらわしているかというと・・・

スカラー場です。

スカラー場とは、（ｘ，ｙ）座標の１点１点についてスカラー（数字）が設置されているような場です（下図のようなイメージ）。

それぞれの数字（スカラー）を"高さ"のようなものとみなし、その値を縦軸（ｚ軸）にとれば、スカラー場は下記のような３次元空間に浮かぶ「曲面」と考えることもできます。

２変数スカラー値関数（Scalar valued function）の微分とは、この曲面の傾きを考えるもの・・・と言えるでしょう。

一方、２変数のベクトル値関数（Vector valued function）のイメージは、ベクトル場です。

式で表すと、たとえば

みたいなものです。

（ｘ，ｙ）に数値を入れると、ベクトルになります。

ベクトル場とは、（ｘ，y）座標の１点１点に二つの値が設定されているような場です（下図のようなイメージ）。

それぞれの数字のセットをベクトルとみなして矢印ベクトルであらわせば、この関数のイメージは下図のようなベクトルの集合になるでしょう。

ベクトル値関数（Vector valued function）の微分とは、このベクトルの横向き（ｘ軸方向）の変化の様子、縦向き（ｙ軸方向）の変化の様子を考えることになります。

イメージするのはむずかしいです。

以上が、スカラー値関数（Scalar valued function）とベクトル値関数（Vector valued function）の概要です。

一方、

線素（Line element）にも、スカラー線素（Line element scalar）とベクトル線素（Line element vector）があります。

これらの組み合わせにより、以下の４つの微分を考えることができます（積分を考えることもできます）。

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微分１．スカラー値関数（Scalar valued function）のスカラー線素（Line element scalar）による微分

微分２．ベクトル値関数（Vector valued function）のスカラー線素（Line element scalar）による微分

微分３．スカラー値関数（Scalar valued function）のベクトル線素（Line element vector）による微分

微分４．ベクトル値関数（Vector valued function）のベクトル線素（Line element vector）による微分

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微分１は、一般には偏微分といわれる微分です。偏微分の結果は２つのスカラーになります。微分によって得られた２つのスカラーは偏微分係数とよばれます。全微分に必要な係数です。

微分２の結果は、２つのベクトルになります。いわゆるベクトル場の微分です。

微分３の結果は、微分１の結果をベクトルにまとめたもので、ひとつのベクトルになります。勾配ベクトルとよばれます。

本質的に ∇（ナブラ）

を２変数のスカラー値関数（Scalar valued function）に作用させることと同じです。

微分４の結果は・・・難しいです。

微分２の結果がまとまり、ひとつのテンソルになります。ヤコビ行列はこうして得られるテンソルの代表例です。このように、ベクトル場をベクトル線素で微分するとひとつのテンソルになります。

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具体例をみてみましょう。

次のような２変数関数を考えます。

スカラー値関数（Scalar valued function）とベクトル値関数（Vector valued function）です。

微分１

スカラー値関数（Scalar valued function）

をスカラー線素（Line element scalar）で微分してみましょう。

すると、以下のように、２つのスカラー値関数数（Scalar valued function）になります。

たとえば、点（２，３）で微分した結果は、x方向への傾きが７，y方向への傾きがー１という２つの数値です。これを偏微分係数といったりします。

微分２

ベクトル値関数（Vector valued function）

をスカラー線素（Line element scalar）で微分してみましょう。すると、以下のように、２つのベクトル値関数（Vector valued function）になります。

あまりはっきりと述べられることはありませんが、まぁ、いわゆるふつうのベクトル場の微分です。

このベクトル場では、x方向へのベクトルの変化は（２，１）、y方向へのベクトルの変化は（１，ー１）であることがわかります。

微分３

スカラー値関数（Scalar valued function）

をベクトル線素（Line element vector）で微分してみましょう。すると、１つのベクトル値関数（Vector valued function）

となります。

∇（ナブラ）を作用させることと同じです。

たとえば点（２，３）における勾配ベクトルは（７，ー１）です。これを勾配ベクトルといったりします。

微分４

ベクトル値関数（Vector valued function）

をベクトル線素（Line element vector）で微分してみましょう。すると、以下のような、ひとつのテンソル（２，１，１，ー１）が得られます。

この意味するところは難しいです。

ヤコビ行列といったりするものに相当するでしょうか。

テンソルとは何なのか？については → こちら。

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