【図解】イメージで理解する線積分

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この記事の概要

１変数関数ではなく２変数関数の話

重積分ではなく単積分の話

この記事で解説する線積分とは、２変数関数の単積分のことをいいます。

みなさんが高校でならった積分は、１変数関数の単積分です。

単積分を一重積分とか一次元積分ということもあります。

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２変数関数には

スカラー値関数（Scalar valued function）

と

ベクトル値関数（Vector valued function）

があります。

つまり、線積分には、スカラー値関数（Scalar valued function）の単積分と、ベクトル値関数（Vector valued function）の単積分があります。

スカラー値関数（Scalar valued function）とは、以下のような関数です。

ベクトル値関数（Vector valued function）とは、たとえば

みたいな関数です。

スカラー値関数（Scalar valued function）の

ｘとｙに数字を入れると、ある数字（スカラー）になります。

ベクトル値関数（Vector valued function）の

ｘとｙに数字を入れると、あるベクトルになります。

線素（Line element）にも、

線素スカラー（Line element scalar）

と

線素ベクトル（Line element vector）

があります。

まとめると・・・

です。

線積分（２変数関数の単積分）は、これらの組み合わせによって、次の４つを区別できます。

それぞれ何が違うのかというと、出力される結果が違います。出力の違いに注目してまとめると以下のようになります（注１）。

いちばん上が、いわゆる「ふつうの線積分」です。

「ふつうの線積分」と非常に紛らわしいのが一番下の「接線線積分」です。

どちらも積分の結果はスカラー値（数字）になります。

本記事ではこの「ふつうの線積分」と「接線線積分」について解説します。

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まずは・・・ふつうの線積分から。

スカラー値関数（Scalar valued function）に対して積分します。

スカラー値関数（Scalar valued function）とは、以下のような関数です。

スカラー値関数（Scalar valued function）のイメージは、下記のような３次元空間に浮かぶ「曲面」です（数学者にはこういうグラフが漫画にみえるという話は ⇒ こちら）。

線積分を、このようなスカラー値関数（Scalar valued function）に対して行うわけです。

たとえば、上記のスカラー値関数（Scalar valued function）と線C：y = x との線積分の結果は、以下の黄色の部分の面積になります（０≤ｘ≤１の範囲で線積分した場合（注２））。

青い線C：y = x と局面にはさまれている領域です。

この面積が「ふつうの線積分」の結果になります。

式であらわすと

です（注２）。

ちなみに、線Cは直線である必要はありません。

たとえば線C：y = x2 との線積分（範囲：０≤ｘ≤１の範囲）の答えは下図の黄色部分の面積です。

これを式で表すと、

です（注３）。

このように、線積分の結果（面積）は沿う線によって異なるのがふつうです。

これがふつうの線積分のイメージです。

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では、接線線積分のイメージはどういうものでしょうか？

接線線積分は、ベクトル値関数（Vector valued function）に対して行います。

ベクトル値関数（Vector valued function）とは、たとえば

という関数です。この関数のイメージは下図のようなベクトルの集合（ベクトル場）です。

グラフ上のすべての点に対して２つの値が設定されているのです（スカラー値関数では１つの値）。

このベクトル場に対して、たとえば線C（y=x）にそった線積分

を考えるのが接線線積分です。

内積の記号「・」が使われているのは、ベクトル値関数（Vector valued function）と線素ベクトルのどちらもベクトル同士だからです。

（同様に外積の記号を使えば、ベクトル値関数（Vector valued function）と線素ベクトルの（ベクトル同士の）外積の積分を考えることもできますが、この記事では扱いません）

たとえば範囲０≤ｘ≤１の接線線積分であれば、計算式は以下のようになります。

そのイメージは、接線ベクトル線素がその場その場のベクトルとの内積をとりながら、下図のベクトル場（上図を拡大しています）を、（0, 0）から（1, 1）に移動したときの内積の総和です（注４）。

といわれても、ベクトル場で内積をとりながら移動する・・・このイメージはわかりにくいです。

よくみると

の部分は先ほどのスカラー値関数（Scalar valued function）の線積分になっており、前述した３Dイメージが可能ではないでしょうか。

ただし、スカラー線素がdsではなく、dxやdyとなっている点に注意します。

つまり・・・

スカラー線素dsを使ったふつうの線積分（注５）

を考えると、そのイメージはスカラー値関数（2x + y）があらわす面と、線 （y = x）に挟まれた下図の黄色の部分です。

この黄色のエリアをｘｚ平面に投影したもの（面積）が

です。イメージは下図の通りです（グリーンの三角形部分）。

これがｄｓに沿った線積分と、ｄｘに沿った線積分の違いのイメージです。

同様に、線積分（注６）

のイメージは、スカラー値関数（x － y）があらわす面と、線 （y = x）に挟まれた下図の黄色の部分です。ちょうど重なって線状になっていて面積はゼロです。

このエリアをｙｚ平面に投影したもの（面積）が

です。下図のグリーン部分です・・・線状でほとんどみえませんが・・・面積はゼロです。

これがｄｓに沿った線積分と、ｄｙに沿った線積分の違いのイメージです。

結局、

とは、

をｘｚ平面へ、

をｙｚ平面に投影した両者の投影面積をたしたものです（注４）。

面白いことに、この和は、"とある曲面"に描かれた"とある線分"の始点と終点の高さの差（黒矢印の長さ）に一致します。

ベクトル値関数（Vector valued function）から突然出てきたこの曲面は一体なんだ？

という声が聞こえてきそうですが、これはベクトル値関数（Vector valued function）

を、ある方法（注１０）で積分して得られたスカラー値関数（Scalar valued function）です。

ベクトル値関数（Vector valued function）に対する接線線積分でも、積分に使う線Cは自由に選ぶことができます。

たとえば線C（y = x2）に沿った線積分は、

です。線C（y = x2）に沿って、０≤ｘ≤１の範囲で線積分した結果は、ベクトルとの内積をとりながら（0, 0）から（1, 1）に移動した場合の内積の総和です（注７）。

これも先ほどの３Dイメージで考えてみましょう。

考えるのは、

です。特に、

の部分は、スカラー値関数（Scalar valued function）の線積分になっています。

ただし、スカラー線素がdsではなく、dxやdyとなっている点に注意します。

まず、スカラー線素dsによるふつうの線積分（注８）

を考えます。そのイメージは下図の通りです（黄色のエリア）。

これをｘｚ平面に投影したもの（面積）が

です。イメージは下図です（グリーンの部分）。

これがｄｓに沿った線積分と、ｄｘに沿った線積分の違いのイメージです。

次に、線積分（注９）

を考えます。そのイメージはここ（下図の黄色部分）です。

これをｙｚ平面に投影したもの（面積）が

です。そのイメージは下図のグリーン部分です。

これがｄｓに沿った線積分と、ｄｙに沿った線積分の違いのイメージです。

したがって、

の意味とは、

をｘｚ平面へ、

をｙｚ平面に投影した両者の面積をたしたものに相当します。

これが

の答えになります（注７）。

面白いことに、この計算結果は、下図の曲面に描かれた線分（黄色の線）の始点と終点の高さの差（黒矢印の長さ）に一致します。

この曲面は、ベクトル場

をある方法（注１０）で積分して得られたものです。

その式を参考までにお示しすると

です。あれ？どこかでみたことありますね？（笑）

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～考察～

実は、

と

の接線線積分の結果が一致したのは偶然ではありません。

理論があるのです。

どういうことかというと、

ベクトル場の線積分（接線線積分）は、必ずスカラー場の高低差になるのです。

ただし、ベクトル場（ベクトル値関数 F ）とスカラー場（スカラー値関数 F ）との間に

という関係が成り立つ場合の話です・・・

本記事の例の場合は、スカラー値関数（Scalar valued function）は

ですので、これに∇を作用させてみると（∇とは、２変数のスカラー値関数（Scalar valued function）をベクトル線素で微分することです。→ こちらを参照ください）・・・

となり、

ですから、たしかに

が成り立っています。

逆に考えると、ベクトル値関数（Vector valued function）の接線線積分を計算するときに、先にベクトル値関数（Vector valued function）をスカラー値関数（Scalar valued function）に変換してしまうことができれば、スカラー値関数（Scalar valued function）の式にｘとｙの値（始点の値と終点の値）を代入するだけで接線線積分の答えが得られます。

つまり、線積分とは言いながら、その計算結果は、線（経路）に依存せず、始点と終点の高さの差になります。

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（注１）

それぞれの計算の仕方は以下のようになります。

（注２）

（注３）

（注４）

（注５）

（注６）

（注７）

（注８）

（注９）

（注１０）

ベクトル場をあらわすベクトル値関数（Vector valued function）

の成分、ｆ(x, y)、g(x, y)をとりだし、ｆ(x, y)はそのまま、g(x, y)にはｘ＝０を代入し、次の積分を実行します。

すると、あるスカラー値関数（Scalar valued function）＝Ｆ(x, y) を得ることができます。

たとえば、ベクトル値関数（Vector valued function）

から得られるスカラー値関数（Scalar valued function）は

です。

この２つの関数、元になったベクトル値関数（Vector valued function）と、得られたスカラー値関数（Scalar valued function）の間には特別な関係があります。

ベクトル値関数（Vector valued function）を線素ベクトル（Line element vector）で積分すると、その関係が判明します。

すなわち

つまり

です。

スカラー値関数（Scalar valued function）

を微分したものが、ベクトル値関数（Vector valued function）

になります。

スカラー値関数（Scalar valued function）をベクトル線素（Line element vector）で微分するとベクトル値関数（Vector valued function）になります。

このとき、スカラー値関数（Scalar valued function）

をベクトル値関数（Vector valued function）

のスカラーポテンシャルと言ったります。

図解してみると、スカラー値関数（Scalar valued function）

があらわすスカラーポテンシャルは下図のようになります。

上図のスカラーポテンシャルを微分して得られたベクトル値関数（Vector valued function）

が下図のベクトル場になります。

スカラーポテンシャルをZ軸方向からみるとスカラーポテンシャルの等高線になります。

スカラーポテンシャルにベクトル場を互いに重ね合わせてみると、下図のようになります。

たがいに直行していることがわかるでしょうか？

スカラーポテンシャルを等高線だと考えると、接線線積分の答えは、横切った等高線の本数に一致します。

ベクトル場とスカラーポテンシャルの関係は、反変ベクトルと共変ベクトルの関係に相当します。

反変ベクトル場をスカラーポテンシャルを介さずに、一気に共変ベクトル場に変換すればこうなります。スカラーポテンシャルとベクトル場、共変ベクトル場の関係はこうしてみるとよくわかります。

ベクトル場が示す方向は、スカラーポテンシャル（空間に浮かぶ曲面）のその場その場の最も急峻な方向を示していると言えます。

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