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【図解】計量テンソルと格子定数

 

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斜交座標があるとします。

https://remedics.air-nifty.com/photos/hawaii/1_20200225134701.png

こういう斜交座標は、次の3つで定義できます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/hawaii/2_20200225134701.png

赤の長さ、青の長さ、赤と青の間の角度。

これを格子定数といいます。

計量テンソル(the metric tensor)と同じ情報量をもっています。

 

 

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ちょっとだけ共変微分(´~`)

共変微分とはベクトルの微分なんですけど、ただの微分ではなく格子定数(計量テンソル)の影響を加味した(あるいは取り除いた)微分です。

どういうことかというと・・・

格子定数(計量テンソル)は、座標が平面かつ座標軸が直線であれば、その座標系全体において一定不変です。

そういう座標で格子定数(計量テンソル)を微分するとゼロになります。

しかし、もし。

座標が曲がったりしている場合には(極座標など)、格子定数(計量テンソル)の微分はゼロになりません。

つまり、格子定数(計量テンソル)の微分がゼロかどうかで「座標の歪み」がわかります。

そう考えるのは自然なことです。

これが共変微分 ∇のアイデアにつながります。

 

ごくごく簡単に説明してみると・・・

(専門家の先生には突っ込みどころ満載かもしれませんが(汗))

下図のようなベクトル場がX方向やY方向にどんな風に変化しているかどうかを調べるのがふつうのベクトル場の微分 ∂(V)です(注)。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/photo_20240310123301.png

ふつう、ベクトル場の微分∂(V) がゼロであればベクトルに変化なしです。下図のような感じ。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/photo_20240310123701.png

ゼロでなければベクトル場に変化あり・・・

と考えます。

しかし、ベクトル場に変化があるとして、それはもしかしたら平面が歪んでいるからではないでしょうか?

下図のようなベクトル場があったとして、その一部はベクトル場が描かれている座標軸が歪んでいる可能性はないでしょうか?

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/photo_20240310123301.png

座標が歪んでいる場合には「座標の歪み」の影響を加味(または除去)しなければ真のベクトル場の変化の様子はわかりません。

先ほども言いましたが「座標の歪み」をあらわすのが、格子定数(計量テンソル)の微分です。

そこで、格子定数(計量テンソル)の微分を Γ(ガンマ)としましょう。

すると、「座標の歪み」を加味(または除去)した

∂(V)+ Γ(ガンマ)

または

∂(V)- Γ(ガンマ)

の値が、ほんとうのベクトルの変化に相当することになります。

このようにふつうのベクトルの微分 ∂(V)を、格子定数(計量テンソル)の微分 Γ(ガンマ) によって補正した微分を共変微分 ∇といいます。

共変微分 ∇ の結果

共変微分 ∇ ≠0であればベクトル場は(たとえ変化していないように見えても)変化しています(下図はその一例)。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/photo_20240310125601.png

共変微分 ∇ =0なら、ベクトル場は(たとえ変化しているように見えても)変化していません(下図はその一例)。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/photo_20240310125602.png

座標が歪んでいる場合、ベクトル場が変化しているようにみえるかもしれませんが、斜交定数(計量テンソル)の影響を取り除かなければ真のベクトル場の変化はのようすはわかりません。

もう少し詳しい共変微分 の話についてはこちらをご覧ください。

ちなみに共変微分 ∇ はテンソルで、座標軸の影響をうけません。すなわちある座標系で共変微分 ∇ が0なら、あらゆる座標系で0になります。∂(V) Γ(ガンマ) もテンソルではないのに、両者を足すとテンソルになるというのはなんかとても不思議です。

たとえばベクトルの式 V=(2x, 3y)であれば、下図のように、ベクトルの方向や大きさが、一見、座標点ごとに違ってみえますよね。でも、それほんとに違うの?格子定数のせいじゃないの?という疑問に答えるのが共変微分です。下図をみて、すべての矢印はほんとうは全部同じ方向、同じ大きさを向いているのではないか?土台になっている座標面のほうが湾曲してるんじゃない?という問いかけがテーマになっています。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/2x3y.png

 

 

リンク:アインシュタインの一般相対性理論

 

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