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2021年1月20日 (水)

・・・ちょっとだけ共変微分(´~`)

今日、ちょっとだけ変な微分を勉強してみましょう。ベクトル場の微分です。

ベクトル場って、こんなやつです。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/342.png

こういうベクトル場で、x方向やy方向にどんな感じでベクトルが変化しているのか?を調べるのがベクトル場の微分です。



あるベクトル場vが

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/301_20210722224201.png
と、あらわされているとします(注1)。

このベクトル場vを、x方向とy方向に微分すると、以下のような結果を得ます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/298_20210315185001.png

上段がベクトル場vのx方向への変化(x方向への微分)

下段がベクトル場vのy方向への変化(y方向への微分)

をあらわしています。

基底ベクトルを使ってあらわすと次のようになります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/25.png

まとめると・・・https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/31.png

です。これが、まぁ、いわゆるふつうのベクトル場の微分です(注1)。

 

では、共変微分とはどんな微分でしょう?

共変微分をひとことで言うと「どんな座標軸でも使える」ベクトル場の微分です。

前述したふつうのベクトル場の微分は、正規直交座標でなければ使えません。

座標軸が曲がっている場合、座標軸の変化(計量テンソルの変化)を取り除く(または加味する)必要があります。

・・・なんて言われても意味がわかりませんよね?

 

具体的な共変微分の手順を以下に示します。

まず、先ほどのベクトル場v

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/301_20210722224201.png

を基底ベクトルを使ってあらわします。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/302_20210722224201.png

今回は、基底ベクトル(ex, ey)が正規直交基底とは限りません(斜交座標とか極座標とか・・・)。

これを基底ベクトル(ex, ey)も含めて "まるごと微分する" と共変微分になります。

以下のように、成分(vx、vy)だけではなく、基底ベクトル(ex, ey)も偏微分します。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/34.png

上段がベクトル場vのx方向への微分

下段がベクトル場vのy方向への微分

です。

連鎖律(合成関数の微分)によって、成分だけではなく基底ベクトル(ex, ey)も微分されているのがわかりますか?

これが共変微分です。

結果だけを書くと・・・

ベクトル場vの共変微分は

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/40.png

こうなります。

上段がベクトル場vのx方向への微分

下段がベクトル場vのy方向への微分

です。

式を整理して次を得ます。https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/200.png

おしまい・・・

と言いたいところですが、専門家は、ここからがすごいです。

ある「魔法の式」を使って、式の後半にある「∂ex」と「∂ey」(基底ベクトルの微分)を消してしまいます。

なんでそんなことをするのかというと、

最終的に共変微分の結果を以下のような形、つまり、ふつうのベクトルの形にまとめたいからです。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/294.png

その「魔法の式」とは以下のようなものです。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/27.png

式の中にある見慣れない変な記号 Γ をクリストッフェル記号と言います。

別途計算される、ただの数字(係数)だと思ってください(注2)。

この「魔法の式」を先ほどの共変微分の結果に代入し、式を整理すると以下を得ます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/19.png

逆にわかりにくくなったと思うかもしれませんが、よ~く見てください。

見事に

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/294.png

の形になっていることがわかります。

カッコの中身は全部同じ形なので、下記のように書き変えます(これが流儀です。共変微分としてよく教科書に紹介されている式はここです)。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/21.png
すると、最終的にベクトル場 v の共変微分は次のようにあらわされます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/9.png

おしまい!!!


なお、本記事で紹介したクリストッフェル記号(Γ)はすごいです。なんと、曲面上に描かれたベクトル場でさえ共変微分を可能にします。クリストッフェル記号(Γ)は平面世界を突破します。ほんとびっくりします。


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(注1)

たとえば、vx = 2、 vy = 1であれば

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

です。

正規直交座標に描かれたベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

をふつうに微分すると、以下のようになります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/330.png

すなわち、

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/334.png

です。

x方向へもy方向へもゼロになります。

x方向にもy方向にもベクトルの変化がみられないという意味です。

このベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329.png

を図示してみると、以下のようになります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/326.png

こういうベクトル場をふつうに微分すると、x方向であれ、y方向であれ、全方向でゼロになるのは直感的に納得できると思います。

くり返しますが、微分がゼロというのは、x方向にもy方向にもベクトルの変化がみられないという意味です。

 

しかし、ベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/348.png

ではどうでしょう?このベクトル場を図示すると、次のようになります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/347.png

こんなベクトル場では、ふつうの微分がx方向にもy方向にもゼロにはならないことが予想できます。

実際、このベクトル場をふつうに微分してみると、

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/349.png

すなわち、

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/350.png

です。

予想通り、x方向へもy方向にもゼロにはなりませんでした。

 

では、次のようなベクトル場はどうでしょう?

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329.pnghttps://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/346.png

ベクトル場は一様でないようにみえます。

なので、ふつうの微分もx方向、y方向、ともにゼロにならないでしょうか・・・?

それを調べるためには微分が必要ですが、座標軸が曲がっているため、そもそも計算が難しそう・・・?

いえ、わざわざ計算するまでもありません。結果は、

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/334.png

です。x方向へもy方向へも変化していません。

なぜなら、図示したベクトル場の上に定義されているように、このベクトル場ではどのベクトルもすべて

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329.png

だからです。

もしも、この座標の内部世界に入り込むことができたら、そこからみたベクトル場はこんな感じです。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/326.png

一様です。x方向へもy方向へも変化していません。

一見、一様ではないようにみえたのは、単に座標軸のゆがみの影響を受けていただけです。

座標の内側の、内部世界の住人は、まさか自分たちの座標が外からみると歪んでいるなんて思っていないのではないでしょうか。

この例のように内部世界の座標軸が外部世界からみて歪んでいる場合、ふつうの微分と共変微分の結果が一致しません。

共変微分とは、誤解を恐れずに言えば、内部世界から飛び出して、外の視点を使ってこのベクトル場を微分することです。

外部世界からみると、基底そのものの変化(座標軸の曲がり)が検出されます。

逆に、ふつうの微分とは、内部世界からみた微分です。

つまり、この例の場合、ふつうの微分はx方向にもy方向にもゼロですが、共変微分の結果はx方向にもy方向にもゼロになりません(計算略)。

もう一つだけ、例をみておきましょう。

あるベクトル場を外部世界から観察した様子です。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/361.pnghttps://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/360_20211116230501.png

このベクトル場のふつうの微分は以下のようになります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/362_20211116230901.png

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/363.png

x方向にもy方向にもゼロにはなりません。

ふつうの微分とは内部世界からみた微分です。

この内部世界に入り込むと、このベクトル場はこうみえています。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/360_20211116230501.png

外部世界からみた場合と同じです。

このように、内部世界の座標軸が外部世界の座標と一致している場合、つまり、内部世界の座標軸が正規直交座標の場合、共変微分の結果が、ふつうの微分の結果と一致します。

基底の変化(=座標軸の曲がり)がないからです。

くどくどと説明しましたが、共変微分とは、まぁ、そういう微分です。

 

(注2)

クリストッフェル記号(Γ)の値は計量テンソルgから求めます。gxxは計量テンソルの第一成分、gxyは第二成分、gyxは第三成分、gyyは第四成分です。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/54.png

計量テンソルには添字が上付きのモノと下つきのものがあります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/55.png

計量テンソルからクリストッフェル記号(Γ)の値を求める式を記しておきます。二次元では8つあります。超めんどくさそうにみえますが、計量テンソルgの値さえわかればすべての値を一発で計算できます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/53.png

ためしに、極座標基底におけるクリストッフェル記号(Γ)の値をひとつだけ計算してみましょう。極座標の計量テンソル(第一成分、第二成分、第三成分、第四成分)は以下の通りです。ただし、極座標ですから(x,y)を(r,θ)に書き換えています。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/194.png

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/61.png

この計量テンソルの情報から次のようなことがわかります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/62.png

これらの情報を利用して、クリストッフェル記号(Γ)の値を計算します。ここでは一つだけ計算しますが、他の記号も簡単に計算できます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/67.png




(補足)

ベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

を正規直交基底で図示すると以下のようになります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/351_20211116131801.png

しかし、同じベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

を極座標基底で表示すると、

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/345.png

のように渦を巻きます。

同じベクトル

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

でも、用いる基底ベクトルによって、あらわれるベクトル場はこんなにも違います。

 

正規直交座標では、座標全体を通して基底ベクトルに変化が生じません。

したがって基底ベクトルの微分「∂e」は必ずゼロ(Γ = 0)になり消失します。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/25.png

その結果、共変微分は、成分のみを微分したふつうの微分に一致します。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/31.png

ところが、極座標の場合、基底ベクトルの大きさや方向が場所から場所で変化します。

したがって基底ベクトルの微分がゼロになりません(Γ ≠ 0)。

つまり、極座標基底であらわされたベクトル場 vhttps://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/41.png

を共変微分した結果は、

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/195_20210125234101.png

とはなりません。

実際に極座標基底であらわされたベクトル場 v の共変微分を計算してみましょう。

本文中でやったようにベクトル場 v をr方向とθ方向に、基底も含めて、微分します。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/42.png次の式を得ます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/43.png

基底ベクトルの微分をクリストッフェル記号(Γ)で置き換えます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/44.png次の式を得ます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/312.png

目的のベクトルは次のように表されます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/48.png

ただし、真ん中の行列の成分は以下の公式から求めます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/311.png

クリストッフェル記号(Γ)を計算し、以下を得ます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/50.png

最終的に以下を得ます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/358.png

これが、極座標基底であらわされたベクトル場 v の共変微分です。

展開すると、

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/359.png

こうなります。これがベクトル場vを共変微分した結果です。


(補足)

極座標基底で表示されたベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

で、ふつうの微分と共変微分を比べてしてみましょう。

極座標基底であらわされたベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

を図示すると以下のようになります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/345.png

まず、ふつうの微分をしてみます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/355.png

すなわち、結果は

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/356.png

と、r方向もθ方向もゼロになりました。

これはどういう意味でしょう?

もし、この極座標の中に入り込むことができれば、内部世界の住人にはこのベクトル場はこうみえているのです。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/326.png

そもそも、すべてのベクトルは

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

なのですからあたりまえと言えば、あたりまえです。

このベクトル場のベクトルは各々の基底からみるとすべて同じなんです。

渦を巻いてみえるのは、実は基底の影響をうけて大きさや方向が違ってみえるだけ、ということです。

 

次に、共変微分をしてみましょう・・・

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/353.png

すなわち、

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/354.png

となります。r方向もθ方向もゼロにはなりません。

ふつうの微分がゼロなのに、共変微分がゼロでないというのは、基底そのものが場所から場所で変化していることを意味します。

共変微分は、外の視点(外にある正規直交座標系)を使ったベクトル場の微分です。

繰り返しになりますが、このベクトル場は、外の視点からみるとこう見えています。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/345.png


(補足)

正規直交基底であらわされたベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png
https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/339.png

の共変微分はふつうの微分に一致し、

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/334.png

です。

しかし、極座標基底であらわされたベクトル場の共変微分は、クリストッフェル記号(Γ)にゼロ以外の値がはいるため、ふつうの微分

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/195_20210125234101.png

とは一致しません。




自分用メモ

正規直交座標におけるベクトル場(A,B)を考える。A、Bは定数とする。

これを極座標基底であらわすと以下のようになる。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/313.png

たとえば、外部世界に設定されている正規直交座標におけるベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.pnghttps://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/351_20211116131801.png
があるとする。ここから座標軸を取り除き、ベクトル場だけをとりだしてみる・・・

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/407_20211228125501.png

これを、そっと極座標基底に重ね合わせてみる。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/407.png

このベクトル場を、極座標基底をつかって再現するにはどうすればいいだろう?

ベクトル成分を

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

としたままでは

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/345.png

のようにベクトルが渦を巻いてしまう。

ここで先ほどのベクトルの変換公式

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/313.png

が役に立つ。

ベクトル

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

を公式にしたがって

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/403.png

と変換してやる。するとこうなる。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/364.png

みごと、極座標の上にベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/407_20211228125501.png

を再現できた!

ベクトルの成分は

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

からhttps://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/403.png

に変換されているが、

ベクトル場の "みため" は、正規直交座標におけるベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/351_20211116131801.png

と同じベクトル場だ。

では、あらためてこのベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/403.pnghttps://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/364.png

を、ふつうに偏微分してみようと思う。

ベクトルは一様にみえるのでゼロになるだろうか?

確かめてみよう。

極座標基底であらわされているベクトル場をふつうに微分するのだから、このベクトル場を、r方向とθ方向に偏微分することになる。すると、

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/404.pngすなわち、

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/405.pngとなる。

ゼロにはならなかった。

この意味するところは何だろう?

極座標基底からみると、このベクトル場は一様ではない、ということである。

実際、この極座標世界の「内部」に入り込むと、このベクトル場はこんな風にみえている・・・

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/403.png

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/378.png

横軸が r、縦軸が θ だ。

これが、極座標の内部からみた、先ほどのベクトル場の様子である。

なるほど、まったく一様ではない。

ほんとうに同じベクトル場なのかと疑いたくなるほど違う。

そもそも極座標世界に住んでいる住人は、自分たちの世界を極座標世界だとは思っていない。彼らは自分たちは正規直交世界に住んでいると思っている。だから、こういうことがおこるのだ。

では、この一様でないベクトル場を、共変微分するとどうなるか。やってみると・・・

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/324.png

このように、みごと全部ゼロになる。つまり、

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/325.png

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/406.png

である。

r方向とθ方向に共変微分した結果がゼロ・・・

これはどういう意味であろうか?

何度も前述しているが、極座標基底そのもの(基底ベクトルの)の微分(Γ)はゼロではない。

にもかかわらず、ベクトル場

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/403.png

の共変微分の結果はそれを打ち消すようにゼロになった。

このベクトル場の r 方向と θ 方向への共変微分がゼロになることを一瞬でわかる人はそうそういないであろう。

この意味するところは、このベクトル場を外部世界からみると一様であるということだ。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/403.png

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/364.png

このように極座標を抜け出して、外部からみるのが共変微分だ。

r方向であろうがθ方向であろうが、全方向にベクトルの変化はみられない。

内部世界を無視すれば、このベクトル場はこういうことである。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/329_20211112000001.png

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/351_20211116131801.png

もともと、正規直交座標上に描かれたベクトル場(2, 1)を元にした話だから、あたりまえか・・・

というか、共変微分の目的はそういうことなのだ。

共変微分とは、座標系を飛び出し、外の視点(外部世界に設定されている正規直交座標系)からベクトル場を観察することだ。

そう考えると、

あるベクトル場の共変微分がゼロならば、そのベクトル場は、他のどんな座標系で表示されていても、その共変微分はゼロになる

というのもあたりまえにきこえる。

共変微分をすれば、どんな曲がった座標系からも抜け出してしまうのだ。

共変微分とは、そういう微分だ。

 

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