線型性とは?: スタディヘルプ

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2021年1月26日 (火)

線型性とは?

線型性についてちょっと説明してみます。

正確さを犠牲にしてわかりやすく説明しますので、その点、ご了承ください。


線型性とは・・・

ハンバーガー2個と、チーズバーガー1個の値段が同じだとします。

ハンバーガー3個と、ダブルチーズバーガー1個の値段が同じだとします。

このとき。

もし「チーズバーガー1個とダブルチーズバーガー1個のセット」が、ハンバーガー5個の値段と等しければ「線型性があるな~」と感じるのです。

そう。それだけのことです。

線型性=あたりまえな話=です・・・

日常生活で、ありとあらゆるところにみられるべき「あたりまえ」をわざわざ線型性と言っています。

もし「チーズバーガー1個とダブルチーズバーガー1個のセット」が、ハンバーガー4個と同じ値段なら「線型性がないなぁ・・・」と。

あたりまえの感覚ですよね。

そして。

この関係性が日本だけではなく、アメリカでも成り立っていると「まるでテンソルみたいだなぁ」と感じるわけです。国や通貨の違い(座標)を超えて線型性が保たれているからです。

たとえばハンバーガー1個が日本では100円、アメリカでは1ドルだとしましょう。

このとき。

「チーズバーガー1個とダブルチーズバーガー1個のセット」の値段が日本では500円、アメリカでは6ドルなら・・・「あれ?なんかおかしい」と思うわけです。

テンソルであれば「個の和の変換」と「個の変換の和」が一致するはずです。

「ハンバーガー5個」の値段が6ドルなら線型性は保たれているのかな・・・でも5ドルなら線型性は崩れています。

座標を超えて線型性が保たれていなければテンソルではありません。

テンソルであれば、線型性はどこでも成り立つはずです。インドでも。フランスでも。

そうすると国をまたいだ価格の変換公式とか、つくりやすくなります。

変換公式があてはまらない国では、「あれ?この国の計量テンソルは曲がっているなぁ~」なんて感じる人もいるかもしれません(そんな人はいないか・・・)。そういう国ではちゃんとした値段づけのために共変微分をしてから価値の比較をする必要があります(いや、それも言い過ぎか・・・(汗))。

線型性って、ちょっと難しい響きがありますけれども「常識的」というぐらいの意味で、なんかあたりまえすぎてかえってわかりにくくなっている概念だと思います。

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