【図解】共変ベクトル・反変ベクトル: スタディヘルプ

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2021年1月10日 (日)

【図解】共変ベクトル・反変ベクトル

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空間に浮かんでいる矢印。

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座標軸を置いてみます。すると・・・その矢印の大きさや方向をあらわすことができます。

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この座標軸がくるっと動いても・・・

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矢印は動きません。

こんな風に、座標軸の動きに影響をうけない「もの」をベクトルとかスカラーとかテンソルと言うなら、この赤い矢印はベクトルと呼んでもいいのではないでしょうか。

少なくとも、座標軸と一緒に動いてしまうものはベクトルとは言えません。

ベクトルとは、座標系に依存しない座標を超越した存在です。

これが前提です。

 

重要なテーマなので繰り返します。ベクトルは座標軸がうごいても(それだけでは)、まったく"回転しない”し、”歪まない"し、"動きません"。このことを肝に銘じておいてください。

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さて、ここからは2次元世界で考えます。今、平面上に下図のようなベクトルがあるとします。

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このベクトルの大きさと方向を表現したいなら、何か座標軸を与えるのが流儀です。適当に、x軸、y軸をとります。

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べつにx軸が水平でなくてもいいのです。この座標のとりかたは、自由です。直交でなくても。

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ま、しかし・・・ここでは、とりあえずベクトルの端を原点に合わせます。基底(目盛り)を2方向(上下方向、左右方向と二次元ですから2方向)とると、ベクトルの2つの成分が決まります。基底(目盛り)の大きさは自由ですが、1つの目盛りを「1」とします。

こうやってはじめて、このベクトルを、"この座標系"では(2,3)とあらわすことができます。

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では、下図のような基底だったら、どうなるでしょう?

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この赤い矢印がそれぞれサイズ「1」の基底だとすると、この座標ではベクトルは、ベクトル(0.6,0.8)のように表示されることになります(下図)。

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このベクトル(0.6, 0.8)は、さきほどのベクトル(2, 3)と同じベクトルです。

・・・よね?

こういわれるとわからなくなる人がいるようですが、"ベクトル"とはこの図の緑の矢印自体の名前です。

成分の内容表示が(2, 3)から(0.6, 0.8)へと変わってしまいましたが、ベクトル(緑色の矢印)そのものが変化したわけではありません。

基底が変わってしまったために、同じベクトルなのに成分表示が変化してしまっただけです。

これを、

(2,3)=(0.6,0.8)

と、表現してしまうと、おかしなことになります。

きちんと表そうと思えば、基底も含めて、

2(1,0)+3(0,1)=0.6(2,1)+0.8(1,3)

みたいに書かなければいけません。

 

このように・・・

座標軸(基底)が変わったとき、いったい、どのように成分を変化させれば、ベクトルを動かさずにあらわし続けることができるだろうか? ⇐こういうのがベクトルやテンソルの勉強です。

 

ちなみに、上の図で、描写されたような矢印ベクトルを、反変ベクトルといいます(基底のサイズが大きくなるにつれて、表示される成分の値が小さくなるので反変というそうです)。「反」という字がついていますが、もっとも素直なベクトルの表示方法です。みなさんが中学・高校で習ったベクトルはすべて反変ベクトルです。

また、この反変ベクトルを表示するときに基準となった基底(前述の青い基底や赤い基底)を共変基底といいます。みなさんが中学・高校で習った基底はすべて共変基底です。

そして、共変基底でベクトルのサイズと方向をあらわすことを反変表示といいます。みなさんが中学・高校で習ったベクトル表示はすべて反変表示です。

なんで、今、名前にこだわっているのかというと・・・共変基底には、その対になる反変基底が存在するからです。

(専門書では、共変基底を ex、ey、反変基底を εx、εy などと記号であらわして解説をすすめることが多いですが、本記事ではなるべく記号を使用しないようにしています)

 

反変基底と共変ベクトル

さぁ、ここから、少しややこしい話になります。たとえば上図で示した赤い共変基底について、

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その反変基底がどこにあるかというと・・・ここにあります。

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この黄色い点線の上です。黄色い点線は、互いに赤い共変基底と直交しています。わかりますか?どことどこが直交しているのか、よ~くみないとわかりませんよ。そして・・・

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これが反変基底です。大きさは、赤い共変基底(直交していないほう・・・)との内積が「1」になるように決定しています(注1)。

(反変基底は、わざわざ作図しなくても、勉強すれば共変基底から計算で求めることができるようになります)

ところで・・・

反変基底からみた緑の矢印ベクトルのようすは次のようになります。

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このベクトルを反変基底を使ってあらわしてみましょう。すると・・・

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ベクトル(7,11)になります。

このように、反変基底でベクトルのサイズと方向をあらわすことを共変表示といいます(共変基底のサイズが大きくなるにつれて反変基底が小さくなり、結果として表示される成分の値が大きくなるので共変というそうです)。

 

実はこの共変表示(7,11)は、計量テンソル

5 5
5 10

を使えば、さきほどの反変表示(0.6,0.8)から一発計算で求めることができます。

 

共変ベクトルの正体

ここまでは、他のサイトやテキストで解説されている内容と大差ないかもしれません。

でも、

みなさん、共変ベクトルを図示せよ・・・といわれたら、どんなベクトルを思い浮かべますか?

以下に示すような「緑の矢印」(既出)でしょうか?

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いえ、これではちょっとダメなんです。世の中の解説の多くはここで混乱していると思います(・・・でなければ、読者を混乱させています(^~^;))。

いやいやおまえも、ついさっき、これを「共変表示」と言ったではないか!とお叱りをうけそうですが、ベクトル(7, 11)・・・は、たしかにベクトルの共変表示です。しかし、共変ベクトルを図示したものではありません。

ここがややこしいところで、ベクトル(7, 11)をそのまま矢印ベクトルとして図示してしまっては、共変ベクトルを図示したことにならないのです。反変基底を使った反変ベクトル・・・みたいな話になってしまいます。

 

いつものように結論から述べましょう。

共変ベクトルをあえて図示すると、次の水色の等高線(みたいな縞模様)になります(注2)。

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え、これがベクトル?

という声が聞こえてきそうですが・・・はい、これが共変ベクトルの正体です。実は、共変ベクトルは矢印ベクトルではうまく図示できません。

共変ベクトルは、元になった反変ベクトル(下図)https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector1.png

とは、似ても似つかぬ姿をしています。

ぜんぜん似ていませんが、しかし、もちろんお互いに関係があります。

まず、方向です。

反変ベクトルの方向と共変ベクトル(上の図の等高線(みたいな縞模様))の方向は互いに直交します。平行というべきかもそれません。要するに、矢印の軸が縞模様の線と直交します。

次にサイズです。

反変ベクトルのサイズと等高線(みたいな縞模様)の間隔には、

1/反変ベクトルの成分 = 等高線(のような縞模様)の間隔

という関係があります。

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作図的には、反変ベクトルの反変表示は(0.6,0.8)ですから、反変基底の

1/0.6 = 1.67倍

1/0.8 = 1.25倍

となるように、等高線(のような縞模様)の間隔を決定します。

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こんな感じで、共変ベクトルを斜交座標上に図示できます。ちなみに、図上の 1.67 と 1.25 は、共変ベクトルの成分のように思う人もいるかもしれませんが、そうではありません(注3)。

 

もし、斜交座標上にこれらの反変ベクトルと共変ベクトルを図示せよ・・・という問いがあれば、下記がその答えというか、その絵的な表現になるでしょう。

反変ベクトル

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共変ベクトル

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こんな等高線(みたいな縞模様)がベクトルといわれて、納得できない人もいるかもしれません。

しかし、これが共変ベクトルのイメージなんです。

共変ベクトルは、このように座標全体に広がる存在です。

が、注意してください!

共変ベクトルが持っている情報は、座標全体の情報ではなく、ある特殊な領域に関する情報です。

その領域とは?

共変ベクトルの起点です。

共変ベクトルにも反変ベクトルのように起点があるんです。

えっと、それはどこでしょうか?上の絵ではわかりません。

何か座標上の点(7, 11)や(0.6, 0.8)に関係しているのでは?と思うかもしれませんが、そうではありません。

反変ベクトルの起点と同じです。

上の図でいえば、緑の矢印の起点が共変ベクトルの起点です。

そこから全体に広がっている感じ・・・というか、

あくまでも共変ベクトルが示しているのは、起点の情報です。

下図のように描いたほうがより正しいイメージに近いかもしれません・・・

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考えてみれば、反変ベクトルを(0.6,0.8)などと表示するときも、その成分は矢印ベクトルの起点に関する情報であり、

座標上の点(0.6,0.8)(ベクトルの終点)の情報ではありませんよね。

 

ところで。

以下の二つのベクトルは、同じベクトルです。

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||

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector158.png斜交座標の都合上、反変表示(0.6, 0.8)あるいは共変表示(7, 11)と、表示形式が違うだけです。

なので、その内積は「ベクトルの大きさ」の2乗になります。

同じベクトル同士の内積は、その「ベクトルの大きさ」の2乗に一致する・・・というのは高校数学で習いましたよね?(習ったはずです・・・(;´^_^`))

すなわち、

(7,11)・(0.6,0.8) =  13

です。

つまり、このベクトルの大きさは√13です。

 

不思議なことに・・・

共変ベクトルと、元になった反変ベクトルを重ね合わせると、矢印が貫く等高線の数が「ベクトルの大きさ」の2乗に必ず一致します。

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これは偶然ではありません。

一般に、どんな共変ベクトルに、どんな反変ベクトルを重ねても、その矢印が貫く等高線(のような縞模様)の数はそれらのベクトルの「内積」に一致します(注4)。

なので、同じ由来である共変ベクトルと反変ベクトルを絵的に重ね合わせると、矢印が貫く等高線の数が「ベクトルの大きさ」の2乗に一致するのは・・・実はこれ、不思議ではなくあたりまえのことなんです。

 

ところで・・・

以下の二つのベクトルは同じベクトルです。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector157.png||

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector143.png

言葉でいうと、

斜交座標で反変表示(0.6, 0.8)とあらわされているベクトル

と、

直交座標で反変表示(2, 3)とあらわされているベクトル

です。

では、斜交座標で共変表示(7, 11)とあらわされているベクトル(下図)は、直交座標では何とあらわされているベクトルでしょうか?

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答えは、共変表示(2, 3)とあらわされるベクトルです(下図)。

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直交基底では共変基底と反変基底が一致するため、反変表示と共変表示も一致します。

斜交座標の反変表示(0.6, 0.8)⇔ 直交座標の反変表示(2, 3)

斜交座標の共変表示(7, 11)⇔ 直交座標の共変表示(2, 3)

と言えます。

直交座標上、反変表示(2, 3)のベクトルと、共変表示(2, 3)のベクトルは、どちらも同一の反変ベクトルであり、したがって、その内積は「ベクトルの大きさ」の2乗になります。

(2,3)・(2,3) =  13

今、何が言いたいのかというと、共変ベクトルを考えるのに何もわざわざ斜交座標で考える必要はないということです(注5)。共変ベクトルは、直交座標においても既にそこにあります。

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絵的に考えれば、反変ベクトルと共変ベクトルの関係は、非常にシンプルで、

1.互いに直交(というか平行?)

2.「反変ベクトルが共変ベクトルを横切る数」= (反変ベクトルのサイズ)2

というだけです(注7)。

 

最後に簡単なクイズをだして終わりにします。下図に、反変ベクトルとその共変ベクトルを示します。この反変ベクトルのサイズはいくつでしょうか?

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簡単ですね。サイズは√10です。10本貫いてますからね(間隔が10)。

すごいとおもいませんか?

「座標軸もないのに」サイズがわかったのです。

逆に、ベクトルのサイズが決まっているところに共変基底を設置すれば、そのベクトルのサイズを不変に保つような反変基底が自動的に決定されます。

ベクトルの方が座標軸より格が上・・・みたいな。

ベクトルは反変ベクトルと共変ベクトルという一組のセットで座標系から完全に独立しうる存在です。

 

(おしまい)


(注1)

反変基底を作図するためには、まず、ふたつの赤い共変基底(exとey)のサイズを決定する必要があります。ここは一番わかりにくいところです。このふたつの赤い共変基底は、その座標系においては(1, 0)と(0, 1)という基底であり、そのサイズはその座標系においては両方とも「1」です、とはいうものの、私たちの眼には(作図上は・・・)、ふたつの赤い共変基底(exとey)の "みため" のサイズは違ってみえます。なので、作図の都合上、両方とも「1」とするわけにはいきません。どちらかを「1」として作図するか、あるいは「作図上の1」を別個に人為的に定義して・・・とか、何とかうまく対処しなければ反変基底を作図できません。そこで、ここでは大元になった直交座標を流用します(何を基準にしてもいいはずです)。その基底のサイズを「作図上の1」としました。すると、このふたつの赤い共変基底(exとey)のサイズは、作図上では大きさが√5と√10のベクトルとまったく同じとみなせます。こうしてはじめて、反変基底(εxとεy)のサイズを、作図上、赤い共変基底との内積が「1」になるように決定することができます。非常に面倒くさいことを言っていますが、結局、大元になった直交座標を作図上の基準として流用し、赤い共変基底(exとey)のサイズをそれぞれ√5と√10であると(作図上)決めるだけです。こうすることによって、赤い共変基底(exとey)は、作図上(2,1)と(1,3)というふたつのベクトルと同じ大きさと方向をもつものとみなすことができます。また、内積を使っていとも簡単に反変基底(εxとεy)と同じ大きさと方向をもつベクトルを決定、作図することができます。共変基底と直交している反変基底との内積は「0」、直交していない反変基底との内積は「1」となるのが原則ですから、そうなるようにうまく計算して反変基底と同じ大きさと方向をもつベクトルを決めてあげます。すると反変基底は、ベクトル(0.6,-0.2)とベクトル(-0.2,0.4)として、大元になった直交座標上に表現できます。

具体的にいうと、

ex・εx =(2,1)・(0.6,-0.2)=「1」

ex・εy =(2,1)・(-0.2,0.4)=「0」

ey・εx =(1,3)・(0.6,-0.2)=「0」

ey・εy =(1,3)・(-0.2,0.4)=「1」

となるように εx と εy の成分を決定してあげるのです(実務的には行列(2,1,1,3)の逆行列を求めるだけ・・・)。

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こうなります。

実は、共変基底と反変基底は入れ替えることができます。下図のピンクの基底を共変基底と考えると反変基底は赤の基底になります。

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こうすると本文中の反変ベクトルの反変表示は(7, 11)、共変表示は(0.6, 0.8)と表示が入れ替わります。


(注2)

この等高線(みたいな縞模様)がベクトルである・・・ということは、つまり、この等高線(みたいな縞模様)も座標変換に対してまったく"回転せず”、”歪まず"、"動きません"。
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反変ベクトル起始部の情報であることを強調すれば以下のように描いたほうがより正確なイメージに近いかもしれません。

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矢印ベクトル(反変ベクトル)に対し、このような等高線(みたいな縞模様)ベクトルを余ベクトル covector(共変ベクトル)とよんだりします。

 


(注3)

ここは書こうかどうか迷ったのですが、共変ベクトルの成分表示について言及しようとするとどうしても必要になってしまいます。共変ベクトルの反変表示や共変表示に興味がある方だけお読みください。

まず、本文中でピンクの矢印として描かれた反変基底(εxとεy)は、それぞれ下記のような等高線(みたいな縞模様)であらわすこともできます。

基底そのものを、矢印ではなく等高線(みたいな縞模様)にするとどうなるかという話です。

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ちょっとわかりづらいかもしれませんので、εx と εy に分けてみます。

反変基底 εx

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反変基底 εy

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それぞれ、ピンクの矢印の方ではなく、黄色の等高線(みたいな縞模様)が εx とか εy である

と考えてください。

では、このふたつの基底(等高線(みたいな縞模様))をどう組み合わせれば、以下の共変ベクトルを作図できるのでしょうか?

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和を使います。

等高線(みたいな縞模様)ベクトルも矢印ベクトルのように足したり引いたりできるのです。

共変ベクトル = 「εx 成分」+「εy 成分」

これらの成分(係数)をどう決定するか・・・という問題です。

難しいですよね。

共変ベクトルの成分表示を説明しようと思えば、その説明に共変ベクトルの知識を使わなければならない・・・

というジレンマがあり、本文中ではそれを避けました。が、

ここではそのジレンマをいったん横において、この問題を解決してみます。

等高線(みたいな縞模様)の間隔をどう調整すればよいのでしょうか?

反変ベクトルの反変表示(0.6,0.8)を利用します。

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反変ベクトルの「ex 成分」は0.6ですよね?

その逆数をとります。

1/0.6 =1.67

今、反変基底 εx の方向に、間隔が εx の 1.67倍である等高線(みたいな縞模様)ベクトルを描くと、下図のようになります。これが目的とする(図示したい)共変ベクトルの 「εx 成分」なんです。

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しかし、この等高線(みたいな縞模様)が共変ベクトルの「εx 成分」だと言われても・・・

数式としては、どうあらわしたらいいのでしょう?

間隔を1.67倍にしたのだから

1.67εx でしょうか?

いいえ。

一般に、共変ベクトルの係数う(大きさ)は、等高線(みたいな縞模様)の間隔の広さに「反」比例します。

したがってこの場合、εx 成分の大きさ(係数)は 1.67 倍になったのではなく、1.67 の逆数、すなわちもとの等高線(みたいな縞模様)の0.6 倍であると考えます。

すなわち、目的とする共変ベクトルの「εx 成分」 は 0.6 です。

間隔があいているのに係数が小さくなるのが納得いかない人は、等高線の間隔は、あけばあくほど勾配が緩やかになる・・・と考えるといいかもしれません。

 

同様に、共変ベクトルの「εy 成分」を求めてみます。

反変ベクトルの反変表示(0.6,0.8)の「ey 成分」である 0.8の逆数をとります。

1/0.8 =1.25

次に、反変基底 εy の方向に、間隔が 1.25倍 にあいた等高線(みたいな縞模様)ベクトルを描くと、下図のようになります。これが目的とする共変ベクトルの「εy 成分」です。
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この「εy 成分」は、数式で書くと 1.25εy ではなく、1.25の逆数を用いて、0.8εy とあらわされます。

すなわち、目的とする共変ベクトルの「εy 成分」は 0.8 です。

結局、目的とする共変ベクトルは、

0.6εx + 0.8εx

と、あらわされます。

これらを重ね合わせると、たしかに目的の共変ベクトルになります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector121.png

すなわち、この共変ベクトルの成分は(0.6,0.8)です。

これが、反変基底を使った「共変表示」の絵的なイメージです。

 

では、共変基底を使った「反変表示」はどうなるでしょう?

まず、本文中で赤い矢印として描かれた共変基底(exとey)は、それぞれ下記のような等高線(みたいな縞模様)であらわすことができます。

共変基底 ex

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector145.png上図で、等高線(みたいな縞模様)の間隔が赤い基底の1/5になっているのは(注1)に解説した理由により、この基底のサイズが作図上√5であるためです。同様に、

下図で、等高線(みたいな縞模様)の間隔が赤い基底の1/10になっているのは(注1)に解説した理由により、この基底のサイズが作図上√10であるためです。

共変基底 ey

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この等高線(みたいな縞模様)の和を使った表現が、共変基底を使った「反変表示」です。

共変ベクトル = 「ex 成分」+「ey 成分」

この成分をどう決定するか・・・という問題です。

その決定には、反変ベクトルの共変表示(7,11)を利用します。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector158.png

この「εx 成分」 は7です。

その逆数をとります。

1/7

共変基底 ex の方向に、間隔が 1/7倍 にあいた等高線(みたいな縞模様)ベクトルを描くと、下図のようになります。これが目的とする共変ベクトルの「ex 成分」です。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector127.png

等高線(みたいな縞模様)の間隔は、共変基底 ex の大きさの1/7になっていますが、数式上は7ex とあらわされます。

これで共変ベクトルの「ex 成分」は7であることがわかりました。

次に、反変ベクトルの「εy 成分」を使って、共変ベクトルの「ey 成分」を求めます。

反変ベクトル共変表示(7,11)の「εy 成分」は11です。

その逆数をとります。

1/11

共変基底 ey の方向に、間隔が 1/11 倍にあいた等高線(みたいな縞模様)ベクトルを描くと、下図のようになります。これが目的とする共変ベクトルの「ey 成分」です。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector126.png
この等高線(みたいな縞模様)の間隔は、共変基底 ey の大きさの1/11になっていますが、実はサイズは11倍になっています。したがって、目的とする共変ベクトルの「ey 成分」は 11です。


これらのベクトルの和

「ex 成分の共変ベクトル」+「ey 成分の共変ベクトル」 = 7ex + 11ey

が、目的の共変ベクトルです。

重ね合わせると、たしかに目的の共変ベクトルに一致します。https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector128.png

共変基底を使った「反変表示」は、(7,11)だといえます。

これまで述べてきた非常にややこしい話を表にまとめると以下のようになります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector.png

このようにベクトルは、反変ベクトルか、共変ベクトルかどうかで、成分表示が入れ替わります。

共変基底、反変基底を入れ替えると、成分表示が入れ替わるという話です。

 

実は、前出の等高線(みたいな縞模様)として描かれた共変基底(exとey)を使えば、反変ベクトルを、矢印が貫く等高線(みたいな縞模様)の本数を数えるだけで共変表示できます。

絵的に重ね合わせるだけです。

やってみます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector146.png

緑の矢印は等高線(みたいな縞模様)として描かれた共変基底(ex)を7本貫いていますよね(赤い共変基底は無視してください)。

なので、「εx 成分」にかかる係数は7です。

同様に・・・

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector148.png緑の矢印が貫いている等高線(みたいな縞模様)の本数は11本です(赤い基底は無視してください)。

なので、「εy 成分」にかかる係数は11です。

結局、緑の矢印ベクトル(反変ベクトル)は、等高線(みたいな縞模様)をつかって(7,11)と表現できます。

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同じように解説しているテキスト(反変ベクトルを共変表示している解説書)もありますが、どれも等高線(みたいな縞模様)を使っていないので意味がわかりにくいと思います。

等高線(みたいな縞模様)を使わないのなら、下図のように矢印の反変基底をつかった共変表示のほうがわかりやすいと思います。

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いずれにしてもややこしい話です。

 


(注4)

数学者は、何かを与えると変数を返すものはなんでも関数と考えるようです。なので、共変ベクトルも、反変ベクトルを作用させると内積(スカラー)を返す「関数」である・・・と言われることがあります。

ちょっと絵で説明してみます。

たとえば・・・

次の2つのベクトルの「内積」は何でしょうか?

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector51.png

・・・といわれても、座標がわからなければ計算のしようがありませんよね?

では、座標を設定しましょう。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector52.png

こうすると、それぞれのベクトルが(2, 3)と(4, -1)であることがわかります。

すると、

(2, 3)・(4, -1)=5

と「内積」を求めることができました。

では次のような座標が与えられたらどうでしょう?正規直交座標から基底を(2,1)と(1,3)に動かしました。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector159.png

ベクトル自体は動いていません。

緑が(0.6,0.8)、赤が(2.6,-1.2)というところまでは何とか求めることができるかもしれません。

では内積は?

次の公式を使います。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/photo_20200706213201.pngベクトル(A,B)とベクトル(C, D)の内積は、計量テンソル(a, b, c, d)を間に挟んで計算するのが正式です。

そうすると、この斜交座標の計量テンソルが

5 5
5 10

であることがわかれば、やっと

(0.6, 0.8)・(7, 1)=5

と内積を求めることができます。

 

ところが・・・共変ベクトルを使うとこんな計算は不要になります。

どういうことかというと・・・

たとえば、上図の「緑のベクトル」だけを等高線(みたいな縞模様)ベクトルに変更してみましょう・・・

すると次のようになります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector82.png

緑のベクトルが消え、等高線(みたいな縞模様)になりました。

赤い矢印が貫く等高線(みたいな縞模様)の数を数えてみてください。

「5本」ですよね?

この数が「内積」に一致します。

ですので「内積」は5です。

これがどんな座標系であっても成り立ちます。

「赤いベクトル」を共変ベクトルに変更しても結果は同じです。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector91.png

数えてみてください。

「5本」ですよね?

この数が「内積」に一致します。

共変ベクトルを使うと「内積」を求めるのに計算は不要です。

というか・・・

座標軸さえ不要です。

矢印が等高線(みたいな縞模様)を乗りこえる数を数えるだけです。

内積はまんが(絵)でわかるのです。

数学の世界では

「内積」=一定

という式によって、直線や平面をあらわしますが、

共変ベクトルを持ち込めば、直線や平面を座標系を使わずに表すことができます。

反変ベクトル・共変ベクトル

= 矢印・等高線(みたいな縞模様)

= 矢印が等高線(みたいな縞模様)を貫いた数

= スカラー(内積)

みたいな感じです。

この意味で使うとき、この等高線(みたいな縞模様)を、1形式(one form)とか、線型汎関数とか、線形写像とか、線形作用素とかいいます。

ちなみに、1形式(one form)とは、ひとつのベクトルとの「内積」により、スカラーを返すものです。共変ベクトルはまさにその例です。同様に、2形式(Bileanear form)とは、ふたつのベクトルとの「内積」により、スカラーを返すものです。その例は計量テンソルです。

結局、この等高線(みたいな縞模様)をベクトルとみるか、関数とみるかによって、呼び方がかわります。双対ベクトル dual vectorとか、余ベクトル covectorとか、1形式(one form)とか、線型汎関数とか、線形写像とか、線形作用素とか・・・

そして、双対ベクトルの双対ベクトルはベクトルに戻るのです。不思議ですよね。というか、本来同じもの(の裏表)ではないか?と思えてなりません。

話がそれました。

言いたかったのは、共変ベクトルと反変ベクトルがあれば座標軸は不要である・・・という爽快な話です。


(注5)

本文記事中に、反変ベクトルについては、

斜交座標の反変表示(0.6, 0.8)⇔ 直交座標の反変表示(2, 3)

斜交座標の共変表示(7, 11)⇔ 直交座標の共変表示(2, 3)

と記述しましたが、共変ベクトルについては、

斜交座標の反変表示(7, 11)⇔ 直交座標の反変表示(2, 3)

斜交座標の共変表示(0.6, 0.8)⇔ 直交座標の共変表示(2, 3)

となります。

その理由を説明します。

直交座標で考えると、共変ベクトルをあらわす等高線(みたいな縞模様)の間隔は、

x軸方向に 1/2 = 0.5

y軸方向に 1/3 = 0.33

という関係になっていて、x軸方向に0.5、y軸方向に0.33 の間隔です。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector70.png

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector110.png

これが、直交座標から求めた共変ベクトルです。

この共変ベクトルの成分表示を考えます。

この等高線(みたいな縞模様)の間隔は 0.5εx と0.33 εy です。

しかし、共変ベクトルの成分表示は(0.5,0.33)ではありません。

(注3)で述べた理由により、それぞれの逆数、すなわち、2と3が共変ベクトルの成分になります。

共変ベクトルの係数(成分の大きさ)は、等高線(みたいな縞模様)の間隔の広さではなく、等高線(みたいな縞模様)を基底ベクトルが貫いている数に比例します。

下図からもあきらかだと思います。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector131_20210114034301.png

上図であらわされている等高線(みたいな縞模様)は、ベクトル2εx です。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector133.png
上図であらわされている等高線(みたいな縞模様)は、ベクトル 3εy です。


https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector134.png

したがって、この共変ベクトルの成分表示(反変基底による共変表示)は

x + 3ε = (2,3)

です。

共変ベクトルの共変基底による反変表示にも同様の考察が適用され、

2ex + 3ey = (2,3)

です。

共変ベクトルそのものは、斜交座標上で求めた共変ベクトルと同じです。

ベクトルは座標の影響をうけません。

直交座標で考えるなら、実は直線の式 2x+3y = c(cは変数)を使うだけで簡単に共変ベクトルを描くことができます(共変ベクトル(a,b)の成分が直線の式 ax+by = cのaとbになります)。


(注6)

直交座標では、原点からx方向の基底2に対し4本の等高線、y方向の基底3に対し9本の等高線、すなわちベクトル(2,3)の方向で合計13本の等高線を、矢印が横切ることになります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector106.png

上図の4と9という数字は基底が乗りこえる等高線の数で、座標表示ではないことに注意してください。

では、記事本文中にでてきた斜交座標では、矢印が横切る等高線の数は何本でしょうか?

計算してみると・・・

7/(1/0.6) = 4.2

11/(1/0.8) = 8.8

下図からもわかりますが、εx 基底7に対し等高線4.2本、εy 基底11に対し等高線8.8本、すなわちベクトル方向(7, 11)で合計13本です。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector107.png

注3と注5を読まれた方なら、共変ベクトルを εx 方向と εy 方向の等高線(みたいな縞模様)に分割してみるともっとよくわかります。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector138.png

注意してほしいのは、上の図の4.2と8.8という数字はベクトルの座標表示ではなく、反変基底εx7に対する等高線が4.2本、反変基底εy11に対する等高線が8.8本であることをあらわしています。

座標軸にかかわらず合計13本です。

等高線(みたいな縞模様)であらわされた共変ベクトルが、反変ベクトルと同様、座標変換に対して不変であることに着目してください。

乗りこえる等高線を数えるのに共変基底を用いることもできます。

計算してみると・・・

0.6/(1/7) = 4.2

0.8/(1/11) = 8.8

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector108.png

注3、注5を読まれた方なら、共変ベクトルを ex 方向と ey 方向の等高線(みたいな縞模様)に分割してみるともっとよくわかります(ん?・・・この場合はこっちの方がわかりにくいかもですね(汗))。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector139.png

共変基底 ex0.6に対する等高線の本数は4.2本、共変基底 ey0.8に対する等高線の本数は8.8本、合計13本です。

共変基底が乗りこえる等高線の数は、反変基底が乗りこえる等高線の数と一致します。

あたりまえのような不思議なような話です・・・

 


(注7)

等高線(みたいな縞模様)と矢印の方向は直交している・・・といわれると、

もしかしたら偏微分や勾配ベクトルを知っている人なら

反変ベクトル = 勾配ベクトル(∇f)

とイメージできるかもしれません。まさにそのイメージでいいと思います。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/vector-field-2.png
あえて3Dっぽく絵に描けば・・・

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/vector-field6.png
ある1点を起点とする、こういう空間に浮かぶ面の勾配が反変ベクトルによって表現されているともいえます。

 

そして・・・ピンときた人もいると思いますけれど、

全微分を知っている人にとっては、

共変ベクトル = 全微分(df)

と、考えることもできると思います。

ある1点を起点して空間に浮かぶ下図のような面の等高線が共変ベクトルによって表現されているといえます。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/vector-field5.pngこういう平面を真上からみたときの高さの変化が共変ベクトルという等高線(みたいな縞模様)であらわされている・・・と想像すればいいのです。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/lineintegral175.png

たとえば、f(x,y) = x2 + y2

という曲面があるとき、その点(1, 1.5, 3.25)における全微分は、

df = 2dx +3dy

です。本記事中で論じている共変ベクトルはちょうどこの全微分 df に相当します。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/photo_20210116001401.png

点(1, 1.5, 3.25)における接平面のスロープは、勾配ベクトル方向(2,3)への傾斜が一番きつく、x方向に2行くと4上昇し、y方向に3行くと9上昇、つまりベクトル(2,3)方向で合計13上昇する斜面です。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/lineintegral177.png

傾斜が一番きつい方向 = 反変ベクトルの方向です。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/lineintegral178.png

この等高線(みたいな縞模様)や矢印は、その様子を見事にあらわしています(注6)

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector76.png

共変ベクトルをスカラーポテンシャルと考えることもできるかもしれません。

2次元の存在と思っていたベクトルが実は3次元的な情報を持っているのは驚きです。

すべての反変ベクトルは、その起始部においてペアになる共変ベクトルをもっており、それらは双対関係にあるといいます。

 

双対ベクトル

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/dual-vector97_20210112021001.png

面白いのは、これ、数学的につきつめていくと、どちらが矢印でどちらが等高線(みたいな縞模様)なのか、だんだんよくわからなくなるんです。みためはこんなに違うのに・・・。実は等高線(みたいな縞模様)も、まるで矢印ベクトルのように足したり倍にしたりできます。よくよく考えると、等高線(みたいな縞模様)の、そのまた等高線(みたいな縞模様)を考えることもでき、そのイメージはまた矢印に戻ります。いったい、どちらが元祖ベクトルなのか・・・鶏が先か卵が先かみたいな話です。

https://remedics.air-nifty.com/photos/uncategorized/vector-field9.png

リンク:アインシュタインの一般相対性理論

 

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