たぶんこの世で二番目にやさしいテンソルの話　～ゆる～く計算してみる編～: スタディヘルプ

以前、テンソルについてできるだけ数式を使わない解説を試みましたが、今回、少しだけ計算式を使って説明してみることにしました。

縮約はでてきません。省略もしません。２次元座標に限ります。xとｙを１と２に変換したりもしません。

本解説を読破するために最低必要な事前知識は以下の３つでしょうか・・・。

１．全微分の公式

２．全微分の変数変換公式

座標（基底）を変換する場合は、合成関数の微分（いわゆる連鎖律）によって偏微分係数を変換します。

３．ベクトルの成分変換公式

この３つが理解できたら準備完了です。

３つとも理解できなくても、読めばだいたいわかるかもしれませんが・・・

【１日目】

XY座標にふたつのベクトルを用意します。ベクトルV₁とV₂です。V₁＝（２，３）とか V₂ ＝（４、－１）とか、なんでも構わないのですけど、ちょっとカッコつけて文字表記にします（文字表記はイヤだ・・・という人は下記「おまけ」具体例バージョンをご覧ください）。

上段がベクトルV₁、下段がベクトルV₂です。

では、このベクトルV₁とV₂からXY座標でテンソルV₁₂をつくってみましょう。

テンソルをつくるのはカンタンで、ベクトルの成分同士を"すべて掛け合わせてならべるだけ"です。

この一番右辺・・・４つの数字のセット・・・がテンソルになります。

次に、座標を変換します。

ベクトルの成分変換公式によって、ベクトルV₁とV₂の表示が下記のように変換されたとしましょう。

これらベクトルの座標変換前後の各成分には以下の関係式が成り立っているはずです（注１）。

行列でまとめると以下のようになります。別にまとめなくてもいいですが・・・

上段がベクトルV₁、下段がベクトルV₂です。

つまり、これが

Rθ座標（座標変換後）のベクトル表示とXY座標（座標変換前）のベクトル表示の関係です。

以上をふまえて、Rθ座標でもテンソルV₁₂をつくってみましょう。

できました。右辺の４つの数字のセットがテンソルです。

これから、

このテンソルV₁₂（Rθ座標）を、ベクトルV₁とV₂のXY座標成分

を使ってあらわしてみたいと思います。

なぜ、そんなことをするのかというと・・・

最初に造ったテンソルV₁₂と新しく造ったテンソルV₁₂は、どちらも同じベクトルからつくられたものです。

なので"みため"（＝成分）は違っても、同じテンソルであるはずです。

なのでどちらも同じ名前（テンソルV₁₂）としたわけです。が、

ところが。

厳密な専門家たちにとっては、このふたつのテンソルが、ほんとうに同じものか？

いや、そもそもテンソルなのか？が自明ではありません。

どういうことかというと・・・

「もし、このふたつのテンソル（ベクトルV₁とV₂からXY座標でつくられたテンソルV₁₂と、Rθ座標でベクトルV₁とV₂からつくられたテンソルV₁₂）の間に座標変換式が存在すれば、それらは確かにテンソルだろう。したがって、まぁ両者は同じものといってよいだろう・・・、しかしそれまでは軽々しく同じ名前であらわしたり、そもそもテンソルという敬称で呼ぶな」

というわけです。

しかし、これらがテンソルであることは数々の専門書ですでに証明済みのことですし・・・

と言いたい気持ちをグッと抑えて、ここは、テンソルV₁₂が確かにテンソルであることを確認してみたいと思います。

具体的には、「変換式があるかどうか」を確認するのです。

では、いよいよ

テンソルV₁₂（Rθ座標）を、ベクトルV₁とV₂のXY座標成分を使ってあらわしてみます。

式を展開すると・・・

ややこしくなってきましたが、行列を使ってまとめると・・・

左辺はテンソルV₁₂（Rθ座標）そのものです。

さらにまとめると、最終的に次のようになります。

できました (o^-‘)bｸﾞｯ!!

右辺にテンソルV₁₂（XY座標）が現れました。

そして、みごとに、テンソルV₁₂（XY座標）からテンソルV₁₂（Rθ座標）への変換式になりました。

これが、テンソルV₁₂がテンソルであること（＝成分変化が整然と規則的に無機的に生じていること）を証明しています。

どういうことかというと、

もし次のように「C」などという余計な項がつくようであれば、それはテンソルではなかった（←座標を超える線型性はないだろう）・・・というわけです（注２）。

しかしそうではなかったわけですから、テンソルV₁₂（Rθ座標）とテンソルV₁₂（XY座標）はともにテンソルであり、したがってそれらは（成分表示が違うだけで）同一のものとみなしてよい・・・と結論できます。

（注１）

なぜこうなるかというと、以下ご参照ください。基底ベクトルを変換する公式が使われます。

なお、Rとかθはふつう極座標基底に用いられますが、この記事では単に基底を区別するための文字として使用しています。もちろん極座標基底としても構いません。極座標基底によるベクトル表示についてはこちらをご参照ください。

（注２）

テンソルには、ある座標で

であれば、他のすべての座標で

でなければならないという一丁目一番地ともいうべき決まりがあります。なので変換式に定数Cなどあってはならないのです。

おまけ

文字表記がイヤだ！という人のために、具体的な数字で考えてみます。

下記のようなベクトルV₁とV₂を考えます。

ベクトル（２，３）と（４，－１）です。

このベクトルは、勝手につくりました。みなさんも勝手につくってみてください。

つづいて座標変換をおこないます。

基底ベクトルが、

から

へ、かわったとしましょう。

ベクトルはそのまま、座標軸のみ動かします。

すると、この座標変換によって、ベクトル表示が、以下の式に従って変化します（ベクトルの座標変換ですね）。

その結果、新しい座標（Rθ座標）におけるベクトルV₁とV₂の表示は

となりました。

さぁ、これで下準備完了です。

では、XY座標のベクトル（２，３）と（４，－１）から、テンソルV₁₂（XY座標）をつくってみましょう。

ベクトルV₁とV₂のXY座標成分を順次掛け合わせて並べるだけです。

２ｘ４＝８，２ｘ－１＝ー２，３ｘ４＝１２、３ｘ－１＝ー３・・・

つまり

です。これが、テンソルV₁₂（XY座標）です。

同様に、Rθ座標で表示されているベクトルV₁（0.6，0.8）とV₂（2.6，-1.2）からもテンソルV₁₂（Rθ座標）をつくってみましょう。

ベクトルV₁とV₂のRθ座標成分をすべて掛け合わせて並べるだけです。

０.６ｘ２.６＝１.５６，０.６ｘー１..２＝ー０.７２，０.８ｘ２.６＝２.０８，０.８ｘー１.２＝ー０.９６・・・

つまり

です。これがテンソルV₁₂（Rθ座標）です。

この４つの数字を覚えておきます。

つぎに、ちょっと天下り的～唐突ですが、以下の行列を考えてみましょう（なんで？と聞かず苦笑）。

ベクトルの座標変換の公式

と、今回の座標変換の式

の係数を見比べることによって

であることがわかります。これをもとにひとつひとつ計算していくと・・・

であることがわかります。

これをテンソルV₁₂（XY座標）

に作用させてみましょう（作用とは、掛け算のことです）。すると・・・

となり、なんと、先ほど得られていたテンソルV₁₂（Rθ座標）

と全く同じものが得られました。

これは偶然ではありません。

このことから、先ほどの

がテンソルの変換式であることが判明したと同時に、ベクトルV₁とV₂の成分をすべて掛け合わせて作られたテンソルV₁₂は確かにテンソルといえるのです。

また、余談ですが

は、テンソルに作用して別のテンソルを作りだしたことになります。このように「テンソルに作用して別のテンソルをつくるもの」ものをテンソルという、というテンソルの定義があります。

するとこの行列（数字のセット）もテンソルといえます。

鶏と卵みたいな話ですが・・・

このような具体的な説明が好みの方は、ぜひ、こちらもご覧ください

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【２日目】

前述したXY座標でつくられたテンソルV₁₂とRθ座標でつくられたテンソルV₁₂の関係を再掲します。

この式を特殊な方式で書くと、以下のようになります（注１）。

えっと・・・目が点になっている人が多いと思いますが、この式を信じる信じないはおいといて・・・今からルールにしたがって少しずつ式を展開していきますのでその様子をご確認ください。三つの⊗がありますが、まず、両サイドの⊗を処理します。

次に真ん中の⊗を処理すると以下のようになります。

最後の⊗を処理すると、最終的に次式を得ます。

前述したテンソルの座標変換式とまったく同一のものが得られました。

この特殊な式の正当性をご理解いただけたところで、

では・・・・

テンソルの座標変換とベクトルの座標変換の係数を比較してみましょう。

テンソルの座標変換公式

ベクトルの座標変換公式

こうしてみると、テンソルの座標変換は、ベクトルの座標変換に完全に依存していることが見てとれます。

つまり、ベクトルの座標変換が成り立つ限り、テンソルの座標変換も必ず成立するのです。

（注１）

この形式は厳密ではないかもしれませんし、あるいは、すでに誰かが開発している確かな方法なのかもしれませんが、従来より管理人が個人的に勝手に愛用している方法で、区分行列を一つの成分とみなしながら、クロネッカー積のような積を外側から処理していく方法です。非常に見通しがよく今のところ常に正しい変換行列を得るので利用しています。ただし、決して、正式な場で使用しないでください。

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【３日目】

今回は計量テンソルについて考えてみます。正規直交座標で成り立つ三平方の定理