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【問題】速度が一定ではない問題

微分積分が何の役に立つ!?

なんていきがってる人がいるけどさ。

 

100mを走るとしよう。

何秒かかる?

一生懸命考える前に「速度は?」と質問するセンスがいるよ。

では、速度が10m/sだったら?

10秒だね。

こんな速度一定だったら考える必要もない。割り算だけ。でも世の中そんな単純なものじゃないでしょ?

 

じゃ、ちょっと難しくしていい?

スピードが変化する場合を考えてみよう。

例えば、だんだんスピードアップする問題を考えてみるね。

スタートした瞬間は 0m/s、1秒後は1m/s、2秒後には2m/s、3秒後には3m/s って感じで、時間ごとになめらかに加速していくんだ。

これだと何秒でゴールできる?

できた?

ね、こんな簡単な問題ですら、微分積分が必要でしょ?

微分積分がわからない人には解きようがないと思うよ。

 

じゃぁ・・・

スタート地点では0m/s、スタートから1mのところでは1m/s、2mのところでは2 m/s・・・って具合に距離ごとになめらかに加速するとしたら?

これだと、何秒でゴールできる?

さっきのと、どっちがはやい?

 

わかる?微分積分を知らないとこんなかんたんな問題すら解けないということになるんだよね。

こういう「何かの速度が変化する」とき、役立つツールが微分積分なんだよね。

 

解答

一応、記事中の問題に対する解答例を示しておきますね。計算間違い等あればどうかやさしくご指摘ください(苦笑)。

 

<前半の問題>

速度を数式であらわすと・・・

v(t) = t m/sec

時間 t までに走った距離を x とする。

速度 v(t) は dx/dt なので、問題の条件から

dx/dt = t

dx = t dt

この微分方程式を解いて

∫dx = ∫t dt

(あるいは、速度を時間で積分したもの = ある時間tまでに進んだ距離なので、速度を時間で積分すると・・・と考えると)

x = ∫t dt = (1/2)t2 + C

初期条件より

C = 0、および t 秒後に x = 100m なので

(1/2)t2 = 100

これを解いて

t = 10√2

100メートルを通過するのは、約14.1421356・・・秒後だよね。

100mの地点(ちょうどゴール地点)の速度は、14.1421356・・・m/s。

 

<後半の問題>

速度を数式であらわすと・・・

v(x) = x m/sec

時間 t までに走った距離を x とすると

速度 v(x) は dx/dt となるので、問題の条件から

dx/dt = x

この微分方程式を解くと

(1/x)dx = dt

∫(1/x)dx = ∫dt

ln(x) = t + C

初期条件より

C = 0、および t 秒後に x = 100m なので

ln100 = t

これを解くと(ln100を計算機で求めると)

t = 4.605170・・・

100メートルを通過するのは、約4.605170・・・秒後だよね。

だんだん加速していって、10mのところでは10 m/s、100mの地点(ちょうどゴール地点)では100 m/s。

後者の方が断然はやいね!

 

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