【問題】速度が一定ではない問題

１００ｍを走るとしよう。

何秒かかるかな？

一生懸命考える前に「速度は？」と質問するセンスがいるよ。

えっと、速度一定・・・だったら小学生でもできる簡単な問題になってしまうね・・・

なので、だんだんスピードアップする問題にしよう！

スタートした瞬間は ０m/s、１秒後は１m/s、２秒後には２m/sって感じで、時間ごとにだんだん加速していくんだ。

これだと何秒でゴールできる？

かんたんすぎる？

じゃぁ・・・

スタート地点では０m/s、スタートから１mのところでは１m/s、２mのところでは２ m/s・・・って具合に距離ごとに加速するとしたら？

これだと、何秒でゴールできる？

さっきのと、どっちがはやい？

こういう「変化する速度」を扱うのが高等数学（微分積分）なんだよね。

解答

一応、記事中の問題に対する解答例を示しておきますね。計算間違い等あればどうかやさしくご指摘ください（苦笑）。

<前半の問題>

速度を数式であらわすと・・・

v(t) = t m/sec

時間 t までに走った距離を x とすると、必ず

速度 v(t) は dx/dt となるので

dx/dt = t

dx = t dt

この微分方程式を解いて

∫dx = ∫t dt

（あるいは、速度を時間で積分したもの = ある時間tまでに進んだ距離なので、速度を時間で積分すると・・・と考えると）

x = ∫t dt = (1/2)t² + C

初期条件より

C = 0、および t 秒後に x = １００m なので

(1/2)t² = 100

これを解いて

t = 10√2

１００メートルを通過するのは、約14.1421356・・・秒後だよね。

１００mの地点（ちょうどゴール地点）の速度は、14.1421356・・・m/s。

<後半の問題>

速度を数式であらわすと・・・

v(x) = x m/sec

時間 t までに走った距離を x とすると

速度 v(x) は dx/dt となるので

dx/dt = x

この微分方程式を解くと

(1/x)dx = dt

∫(1/x)dx = ∫dt

ln(x) = t ＋ C

初期条件より

C = 0、および t 秒後に x = １００m なので

ln100 = t

これを解くと（ln100を計算機で求めると）

t = 4.605170・・・

１００メートルを通過するのは、約4.605170・・・秒後だよね。

だんだん加速していって、１０mのところでは１０ m/s、１００mの地点（ちょうどゴール地点）では１００ m/s。

後者の方が断然はやいね！

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