ラプラスの法則を・・・ゆる～く証明してみました

ラプラスの法則とは

表面張力Tは半径Rと内圧Pの両方に比例する

T ∝ P・R

あるいは、表面張力Tが一定なら、半径Rと内圧Pは反比例する

P ∝  T/R

という法則です。

ざっくばらんな証明１

下図のような、半径Rの風船のような球を想定します。

球の内側と外側の圧力差を外向きにPとします。

次に、以下のようなイメージで、この球の表面上のあらゆる線分に表面張力T（長さ1mあたり）が作用しているとします。

この表面張力Tが、さきほどの圧力Pと釣り合っているため、球の大きさが一定に保たれている・・・と考えます。

どう考えるのかというと・・・

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表面張力って？という人は⇒こちら

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球の表面に、一辺の長さMの正方形を想定します（球の表面が曲がっているので正確には正方形ではありませんが・・・）。

すると、この正方形に内側と外側からかかっている力Dは、圧力差P x 面積ですから、

D = P・M²

になります。

また、

表面張力Tは長さ1mあたりにかかる力ですから、

この正方形の一辺Mあたりにかかっている力Fは、

F = T・M

であらわされます。

ここで都合よく、正方形の内側に向かう力はお互いに打ち消しあうと考えます。

ここらへんがゆる～いですね、この証明（笑）。

すると、正方形の外側にかかっている力だけが残ります。

ここで、この正方形を下図のように２つに切り、横からみてみます。

この力Fは、球の水平方向の成分Fyと、球の垂直方向の成分Fxにわけられます。

すると、Fy成分は互いに打ち消しあい、Fx成分だけが残ることになります。

これが正方形に内側と外側からかかっている力Dと釣り合うわけです。

Fxの求め方ですが、

球の中心から正方形の一辺の長さをみたときの角度をθとすると、

Fx = F sin(θ/2)

になります。θが十分小さければ、sinθ =θですから、

Fx = F sin(θ/2) = F・(θ/2)

と近似できます。

この球がある大きさで安定しているということは・・・

この正方形に内側から垂直にかかっている力Dと、

この表面張力の垂直方向への成分が釣り合っている

ということ。

正方形の４辺に４つのFが作用していることを思い出してください。

力Dは、４つの力 F の垂直成分Fxとつりあっていることになります。

つまり、

D = 4・Fx

ということになります。

前述の、

D = P・M²、Fx = F・(θ/2) と、

D = 4・Fx を連立させると、

P・M² = 4・F・(θ/2)

P・M² = 2F・θ

ここで、中心角θ、円弧m、半径Rの関係式 θ = M/R を使うと、

P・M² = 2F・(M/R)

P・M = 2F/R

前述したように、F = T・M ですから、

P・M = 2(T・M)/R

P = 2T/R

2T = P・R　　

T ∝ P・R 　

となります。

Q.E.D.

・‥…━━━☆

ざっくばらんな証明２

下図のように半径Rの球を想定します。

球の内側と外側の圧力差を外向きにPとします。

次に、この球の表面上のあらゆる線分に表面張力Tが作用しているとします。

球を上下半分に切るような円周Lを想定します。

この円周上に作用している表面張力が球の上半分と下半分をひきつけています。

球の上半部を下方向へひきつけている力Fを表面張力Tを使ってあらわすと、

F = L・T

F = 2πR・T

になります。

ここで、

この球の上半部を下方向へひきつけている力Fは、圧力Pによって、球の上半分を上方へ押しげられる力ともバランスしている

と考えます。

球の上半分を上方へ押しげられる力とは、

下図をよ～くみてイメージを膨らませるとわかるとおもいますが、

結局、球の断面積に圧力Pをかけたものに等しくなります。

円周率をπとすると断面積はπR²ですから、

球の上半分を上方に持ち上げる力をDとすると、

D = πR²・P

この上方への力Dと下方への力Fが釣り合っていますので、

πR²・P = 2πR・T

R・P = 2T　　

R・P ∝ T

Q.E.D.

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補足図

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