運動エネルギーと運動量の違い

Tweet ☜この記事をシェアする

物体Aと物体Bが衝突し、その前後で物体Aと物体Bの速度がどう変化するかを求める問題があります。

この問題を解くために、運動量保存の法則を利用します。

しかし・・・。

運動エネルギーではダメなのでしょうか？

そもそも

運動量と運動エネルギーは何が違うというのでしょう？

運動量は mv

運動エネルギーは (1/2)mv²

どちらも運動の "勢い" みたいなものを表現しています。

どちらもmとｖでできている式です・・・

運動量ではなく、運動エネルギーが保存される、と考えてはダメなのでしょうか？

そもそも、運動量と運動エネルギーは何が違うのでしょうか？

シンプルにするために、どちらかひとつだけで、他方は葬り去ることができないのでしょうか？

結論からいうと、ダメ。しかも、両方とも必要なのです。

基本原則は・・・

ある２つの物体において、外からの力がまったく働かない場合（⇒ ２つの物体が、お互い、相手からの影響だけをうける状況ってことです。たとえば、冒頭の衝突が典型例で、衝突後の運動は、お互い、相手から受けた力だけで決まります。Aへの作用とBへの反作用だけで決まるAとBの運動です。このような場合）、

１．運動量は必ず保存される。 → これが運動量保存の法則

２．運動エネルギーは保存されるとは限らない。

という２点です。これが基本原則です。

運動エネルギーは、保存される保証がない・・・ってのがポイントです。←これ、あまり学校で教えませんよね？

力学的エネルギー保存の法則なんて勉強してしまうと運動エネルギーも保存されるのでは？・・・と考えてしまうかもしれませんが、運動エネルギーなんて、すぐ他のエネルギー（音や熱のエネルギーなど）に変わり、すぐに変化するんです（いろんなエネルギー含めてトータルではエネルギーは保存されてるかもしれませんが、そんなのあまり役に立ちません）。

それに対し、運動量は必ず保存されます（外からの干渉、つまり外からの力（ちから）が全くない場合に限られますが）。

学校では、これをさも"あたりまえ"のように教えますが、

なぜ運動量が保存されるのか？

これはわかっていないんです。しかし

作用反作用の法則が成り立つ限り、必ず、運動量は保存されます。

保存される、というのは

イベント（衝突や突き放し＝作用反作用現象）の前後で、2つの物体の運動量の合計に変化がない

という意味です。

これはすごい法則です。

たとえ運動エネルギーは失われても、運動量の和は絶対に変化しません。

そもそも、ある物体の速度が変化した場合、そこには必ず力（ちから）が働いています。

速度の変化のことを加速度といいますが

加速度が生じるところ必ず力（ちから）あり

です。

力（ちから）ってのは、直接、見たり測ったりできません。

あくまでも、モノの速度の変化（加速度）を通じて、力（ちから）を ～解釈する～ だけです。

力（ちから）のやりとりなしに、モノの速度は変化しません。

少し厳密な言い方をすると、力（ちから）とは「運動量の時間当たりの変化」です（ニュートンの運動方程式）。

力（ちから）のやりとりなしに、運動量は変化しません。

これは、わたしたちが住む、この全宇宙を支配する法則です。

わたしたちは、そういう世界に住んでいるんです。

なんで？

などと考えるのはやめましょう。

わかればノーベル賞級です。

とにもかくにも、冒頭で書いた、物体Aと物体Bが衝突したとき、物体Aに働いた力（ちから）とまったく同じ力（ちから）が物体Bに働いています。

このことをファンシーに表現したのが運動量保存の法則です。

物体Aと物体Bが衝突し、その前後で、速度がどう変化するかを求める問題を解くためには、

必ず、次の二つの式、の両方を連立させる必要があります。

運動量の保存の式１と、運動エネルギーの変化（Δ ）の式２です。

（式１）・・・m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'

（式２）・・・(1/2)m₁v₁² + (1/2)m₂v₂²  = (1/2)m₁v₁'²  + (1/2)m₂v₂'²  + Δ

（Δ：衝突前後の運動エネルギーの合計差）

このとき、頭の中で考えているのは、

衝突前後で運動量の総和は同じという「運動量保存の法則」

と、

衝突前後の運動エネルギーの総和がどれだけ変化（Δ）したか？

です。

言い方を変えると、

力（ちから）のやり取り

と、

運動エネルギーのやり取り

です。

力（ちから）のやり取りは必ず保存される、というのが運動量保存の法則です。

運動エネルギーは必ずしも保存されません。しばしば、音とか熱とか、ほかのエネルギーに変化してしまいます。

ダメな教科書では、（式１）だけを利用して問題を解いて終わり、というものがあります。

でも、頭の中では必ず（式１）と（式２）を解いて、

１．衝突後の速度の変化

２．衝突後の運動エネルギーの変化（Δ）

の両方を求めなければ本質を理解できません。本質を理解できなければ、なぜ運動量と運動エネルギーの両方があるのか、違いは何なのか？

が、いつまでたってもわからないということになります。

運動エネルギーは、衝突時の熱エネルギーのロスなどによって、衝突前後でΔだけ変化しますが・・・

運動量は、運動エネルギーのロスの有無にかかわらず保存されます。

（補足：衝突前後で運動エネルギーの総和がまったく変化しない、すなわち Δ = 0 という特殊な衝突を、弾性衝突 elastic collision といいます。つまり、弾性衝突 elastic collision においては Δ = 0 です。）

それにしても、運動量と運動エネルギーの関係がどうなっているのかよくわかりにくい・・・

という人のために、

運動量と運動エネルギーをグラフ化して考えてみました。

（そんな必要ないという人は、最後の例題を解いてみてください）

質量ｍの物体の運動量が、速度０から速度ｖに増加したときの運動量の変化の様子をグラフにすると下図のようになります。

時間のファクターを抜きにすると、運動量Pはｖに比例する単純な傾きmの一次関数と考えることができます。

つまり、途中で加速しようが失速しようが一定速度で動こうが、結局、今の運動量Pは今の速度で決まります。

一方―――

運動エネルギーは、速度０から速度ｖまで、各速度ごとの運動量を総加算したもの（積分値）といえます。

もっとわかりやすい図にすると以下のようになります。

運動エネルギーは、青い三角形の面積（(1/2)mv² ）。

運動量は、青い三角形の高さ（mv）。

こう考えると、運動量と運動エネルギーって、関係はありますが、必ずしも同じにはならない

ということがわかるでしょう？

今、物体Aと物体Bがあるとします。

物体Aと物体Bの運動量の総和は保存されるとします。

ここで、まず物体A。

物体Aの運動量が、下図のように減ったとします（運動量の変化は ΔP の長さに相当します）。

青い三角形の高さが ΔP だけ減りました。

すると、運動エネルギー（青い三角形の面積）も減ります。

減った運動エネルギーは、水色の部分（面積 ΔE の広さ）に相当します。

このとき・・・

物体Bの運動量は？

運動量保存の法則のため、物体Aが失った量と同じだけ増えます（下図、ΔP の長さ）。

青い三角形の高さが ΔP だけ増えます。

物体Ａの（ΔP）＝物体Ｂの（ΔP）

これが運動量保存の法則です。

しかし、

青い三角形の面積は、どうでしょう？

物体Ａの（ΔE）＝物体Ｂの（ΔE）

とは限りません。

というか、そもそも

物体Aの速度変化とか、物体Ａの（ΔE）と物体Ｂの（ΔE） の差（Δ）がわからなければ、物体Bの速度の変化（Δv）は永遠にわかりません。

物体Aが失った運動エネルギー（水色部分の面積ΔE）は、物体Bが獲得した運動エネルギーの量（水色部分の面積ΔE）と同じとは限らない・・・

つまり、

運動エネルギー（水色部分の面積ΔE）は熱などの他のエネルギーにかわって失われたり、他のエネルギーを吸収して増加したり・・・ということがあるんです。

質量のわからない物体Aと物体Bが、「勝手に」速度をやり取りすると、

運動量の総和は一定に保たれますが、運動エネルギーには喪失や増加が起こります。

逆に言うと、このとき、運動エネルギーの喪失や獲得の程度がわからなければ、

物体AとBの速度の変化を計算することはできません。

運動エネルギーの変化が与えられて、はじめて、その条件下で、ΔPが一致するような速度の変化を求めることができます。

ですから、衝突の問題を解くためには、

必ず、次の二つの式、運動量の保存の法則と、運動エネルギーの変化の両方を連立させる必要があります。

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'

(1/2)m₁v₁² + (1/2)m₂v₂²  = (1/2)m₁v₁'²  + (1/2)m₂v₂'²  + Δ

（Δ：衝突前後の運動エネルギーの総和差）

たとえば、運動エネルギーの喪失がない（Δ= 0）と指定されて、はじめて

上記、二つの図の水色の部分（ΔE）の面積が同じであることがわかり、

その条件下ではじめて、ΔPの大きさが同じになるような、そのようなΔvの値が物体A、物体Bにおいて決まります。

だから、両方必要なんです。

・‥…━━━☆

ちなみに、

運動量はベクトルで、運動エネルギーはスカラー

ってどういうこと？という質問がありますが、言ってることは単純で、

運動エネルギーの総和を計算するときには、単純に速度の絶対値だけを考えればOKですが、

運動量の総和を計算するときには個々の物体の速度の方向をベクトルにしてよく考えて、ベクトルのｘ成分同士、ｙ成分同士の足し算、引き算をして、最後のベクトルの大きさを求めます。逆方向なら、プラスマイナスゼロになることもあるよってことです。

・‥…━━━☆

（例題１）

スピード（＋５）、質量８の球Aと、スピード（ー５）、質量２の球Bが衝突した。

衝突後のそれぞれの球のスピードは？

解答

（式１）・・・8 x 5 + 2 x (-5) = 8 x v₁' + 2 x v₂'

この v₁' と v₂' には無限の可能性があります。なので一つの答えに定まりません。

（例題２）

スピード（＋５）、質量８の球Aと、スピード（ー５）、質量２の球Bが衝突した。

衝突後、運動エネルギーに８０のロスがおこった。

衝突後のそれぞれの球のスピードは？

解答

（式１）・・・8 x 5 + 2 x (-5) = 8 x v₁' + 2 x v₂'

（式２）・・・(1/2) x 8 x (5)² + (1/2) x 2 x (-5)²  = (1/2) x 8 x v₁'²  + (1/2) x 2 x v₂'²  - 80

これを解くと・・・

v₁' ＝ ＋3

v₂' ＝ ＋3

すなわち、衝突後、２つの球は同じスピード（＋３）で動いていくことがわかります。

いいかえると、衝突後、２つの球がひっついたようにみえます。

このように、

衝突時に、運動エネルギーの総和に大きなロスがおこり、２つの球が一体化する（＝同じスピードになる）ような衝突を、完全非弾性衝突  perfectly inelastic collision といいます。

（例題３）

スピード（＋５）、質量８の球Aと、スピード（ー５）、質量２の球Bが衝突した。

衝突後、球Aのスピードは（＋２）になった。

では、衝突後、球Bのスピードは？

解答

（式１）・・・8 x 5 + 2 x (-5) = 8 x 2 + 2 x v₂'

（式２）・・・(1/2) x 8 x (5)² + (1/2) x 2 x (-5)²  = (1/2) x 8 x (2)²  + (1/2) x 2 x v₂'²  + Δ

式１だけから、球Bの衝突後のスピードは（＋７）とわかります。

式２は、この問題を解くには必要ありませんが、衝突前後で失われる運動エネルギーが６０（Δ＝６０）であることがわかります。

このように、衝突前後で運動エネルギーの総和が変化する衝突を非弾性衝突 inelastic collision といいます。ふつうの衝突です。

（例題４）

質量が不明の２つの物体があるとする。

この２つの物体のあいだで、運動量保存の法則が成り立つとする。

最初、

物体Aの速度は ６

物体Bの速度は ー３

であった。

あるところで弾性衝突 elastic collision がおこって、物体Aの速度が２になったとき、

物体Bの速度は何になるか・・・？

解答

弾性衝突 elastic collision ですから、Δ＝０です。

（式１）・・・m₁ x (6) + m₂ x (-3) = m₁ x (2) + m₂v₂'

（式２）・・・(1/2) x m₁ x (6)² + (1/2) x m₂ x (-3)²  = (1/2) x m₁ x (2)²  + (1/2) x m₂ x v₂'²  + 0

これを解いて、

v₂' = 11

→ 物体Bの速度は11です。

さらに、物体Aの質量と物体Bの質量比は２：７ということもわかります。

（例題５）

いま、

物体Aの速度６

物体Bの速度２

とする。

衝突か何かわからないが、２つの物質の間に運動量が保存される現象が起きて、物体Aの速度がとつぜん０になった。

すると物体Bの速度は・・・？

ただし、衝突の前後で運動エネルギーに損失はないとする（弾性衝突 elastic collision）。

解答

（式１）・・・m₁ x (6) + m₂ x (2) = m₁ x (0) + m₂v₂'

（式２）・・・(1/2) x m₁ x (6)² + (1/2) x m₂ x (2)²  = (1/2) x m₁ x (0)²  + (1/2) x m₂ x v₂'²  + 0

これを解いて、

v₂' = 4

→ 物体Bの速度は４です。

物体Aの質量と物体Bの質量比は1：3、すなわち、物体Aの質量は物体Bの質量の３分の１でなければならないということもわかりました。

さぁ、これであなたも運動量マスターですね！

（おしまい）

Tweet ☜この記事をシェアする