Ｚ会主催「超難問コロシアム」公式ページにのっていた三角形の問題

∠BAC=90°、AB=2√2、AC=3 である直角三角形ABCの内部に点Pをとったところ∠PAB=∠PBC=∠PCAとなった。

このとき、線分APの長さを求めよ。

暇だったので、解いてみました。

まず、

∠PAB=∠PBC=∠PCA = θ　とおきます。

この問題は、三角形APCが直角三角形であることをいかにすばやく見抜けるかどうかが関門になります。

これがわかれば、あとはそれほど難しくありません。

三角形APCは直角三角形なので、

もとめるAPは、

AP = 3 sinθ --- ①

です。

また、ピタゴラスの定理より

CP²+AP²= 3² --- ②

与えられた条件から、BC = √17であるので、

BP cosθ + CP cos(∠ACB –θ) = √17 --- ③

また、3角形PBCのPからBCに降りる高さに注目して、

BP sinθ = CP sin(∠ACB –θ) --- ④

正弦定理より、

(２√2)/sin(∠ACB) = √17/sin(90°) = √17 --- ⑤

これで、必要な数式がそろいました。

わからない変数が、AP、BP、CP、cosθ (sinθ)、cos∠ACB (sin∠ACB)の五つなので、5個の独立した式があれば解けます。

後は、連立方程式を解いていくだけです。

③より、

BP cosθ + CP cos(∠ACB –θ) = √17

BP cosθ + CP cos(∠ACB)*cosθ + CP sin(∠ACB)*sinθ =√17 --- ⑥

④より、

BP sinθ = CP sin(∠ACB –θ)

BP sinθ = CP sin(∠ACB)*cosθ - CP cos(∠ACB)*sinθ

BP = CP sin(∠ACB)*cosθ/sinθ - CP cos(∠ACB) --- ⑦

⑦を⑥に代入して、

CP sin(∠ACB)*cos²θ/sinθ - CP cos(∠ACB)*cosθ + CP cos(∠ACB)*cosθ + CP sin(∠ACB)*sinθ =√17

CP sin(∠ACB)*cos²θ/sinθ + CP sin(∠ACB)*sinθ =√17

CP sin(∠ACB)*cos²θ + CP sin(∠ACB)*sin²θ =√17 sinθ

CP sin(∠ACB)*(cos²θ + sin²θ) =√17 sinθ

CP sin(∠ACB) =√17 sinθ --- ⑧

⑤より、

sin(∠ACB) = (2√2)/(√17) --- ⑨

⑨を⑧に代入して、

(2√2)/(√17) CP = √17 sinθ

CP = 17 sinθ /(2√2) --- ⑩

②より、

CP²&= 3² - AP² --- ⑪

⑪を⑩に代入して、

3² - AP²&= 17² sin²θ /8 --- ⑫

①より、

sinθ = AP/3 --- ⑬

⑬を⑫に代入して、

3² - AP²&= 17²AP²/3²/8

361 AP² = 3⁴*8

19² AP² = 3⁴*8

AP =±(18√2)/19

したがって、AP の長さは(18√2)/19です。