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Z会主催「超難問コロシアム」 自然数のうち、3乗すると下3桁が999になるものを1つ挙げよ

Z会主催「超難問コロシアム」公式ページにのっていた問題・・・

「自然数のうち、3乗すると下3桁が999になるものを1つ挙げよ」

暇だったので解いてみました。

93=729なので、求める自然数は必ず2桁以上の数字です。

そこで、求める自然数を、任意の自然数aと、任意の一桁の自然数bをもちいて(10a + b)とあらわします。

条件より、

(10a + b)3 = …999

左辺を展開して、

1000a3 + 300a2b + 30ab2 + b3 = …999

が、成り立ちます。

まず、「1の位 」を考えます。

(10a + b)3 を展開した1000a3 + 300a2b + 30ab2 + b3 の1の位を決めるのは、b3だけです。

つまり、b3の1の位が9であればよいことがわかります。

3乗すると1の位が9になるような一桁の自然数を探すと、

「9」

しかありません。

したがって、

b = 9

です。

次に、「10の位 」を考えます。

(10a + b)3 を展開した1000a3 + 300a2b + 30ab2 + b3 の10の位を決めるのは、30ab2 + b3の部分です。

b = 9を30ab2 + b3に代入すると、

2430a + 729

となります。

2430a + 729の10の位は、2430a + 729の赤の部分で決まります。

すなわち、1000a3 + 300a2b + 30ab2 + b3 の10の位が9であるということは、

3a + 2

の末桁が9であるということと同義です。

3a + 2の末桁が9になるようなaはどんな数字でしょうか?

そうです。3a = …7となるような数字です。

つまり、aは、1の位が9である自然数(9、19、349など)であれば何でもいいことがわかります。

次に、「100の位」を考えます。

1000a3 + 300a2b + 30ab2 + b3 の100の位を決めるのは、300a2b + 30ab2 + b3の部分です。

300a2b + 30ab2 + b3に、b = 9を代入すると、

2700a2 + 2430a + 729

になります。

つまり、2700a2 + 2430a + 729の答えの100の位が9であればよいということです。

さきほど、aは、その1の位が9である自然数であることがわかりましたので、任意の自然数Aをもちいて、

a = 10A + 9

とあらわせます。

これを先の式に代入すると、

2700a2 + 2430a + 729

= 2700(10A + 9)2 + 2430(10A + 9) + 729

= 270000A2 + 486000A + 218700 + 24300A + 21870 + 729

この式の100の位は、赤の部分です。

つまり、

7 + 3A + 8 + 7

= 3A + 22

の答えの末桁が9であればいいということです。

3A + 22が9で終わるようなAを考えると、Aは、1の位に9をもつ自然数(9, 19, 529, etc)であれば何でもよいことがわかります。

問題より求められている解答は一つであるので、

たとえば、A = 9 を選ぶと、

a = 10A + 9より、

a = 99

したがって、求める自然数のひとつは、

10a + b

= 99*10 + 9

= 999

です。

答:999

ためしに、999を三乗してみると997002999と、めでたく下三桁が999になりました。\(^o^)/

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