Ｚ会主催「超難問コロシアム」 自然数のうち、3乗すると下3桁が999になるものを1つ挙げよ

Ｚ会主催「超難問コロシアム」公式ページにのっていた問題・・・

「自然数のうち、3乗すると下3桁が999になるものを1つ挙げよ」

暇だったので解いてみました。

9³=729なので、求める自然数は必ず２桁以上の数字です。

そこで、求める自然数を、任意の自然数aと、任意の一桁の自然数bをもちいて（10a + b）とあらわします。

条件より、

(10a + b)³ = …999

左辺を展開して、

1000a³ + 300a²b + 30ab² + b³ = …999

が、成り立ちます。

まず、「１の位 」を考えます。

(10a + b)³ を展開した1000a³ + 300a²b + 30ab² + b³ の1の位を決めるのは、b³だけです。

つまり、b³の１の位が９であればよいことがわかります。

３乗すると１の位が９になるような一桁の自然数を探すと、

「9」

しかありません。

したがって、

b = 9

です。

次に、「１０の位 」を考えます。

(10a + b)³ を展開した1000a³ + 300a²b + 30ab² + b³ の10の位を決めるのは、30ab² + b³の部分です。

b = 9を30ab² + b³に代入すると、

2430a + 729

となります。

2430a + 729の１０の位は、2430a + 729の赤の部分で決まります。

すなわち、1000a³ + 300a²b + 30ab² + b³ の１０の位が９であるということは、

3a + 2

の末桁が９であるということと同義です。

3a + 2の末桁が９になるようなaはどんな数字でしょうか？

そうです。3a = …7となるような数字です。

つまり、aは、1の位が９である自然数（９、１９、３４９など）であれば何でもいいことがわかります。

次に、「100の位」を考えます。

1000a³ + 300a²b + 30ab² + b³ の100の位を決めるのは、300a²b + 30ab² + b³の部分です。

300a²b + 30ab² + b³に、b = 9を代入すると、

2700a² + 2430a + 729

になります。

つまり、2700a² + 2430a + 729の答えの１００の位が９であればよいということです。

さきほど、aは、その1の位が９である自然数であることがわかりましたので、任意の自然数Aをもちいて、

a = 10A + 9

とあらわせます。

これを先の式に代入すると、

2700a² + 2430a + 729

= 2700(10A + 9)² + 2430(10A + 9) + 729

= 270000A² + 486000A + 218700 + 24300A + 21870 + 729

この式の１００の位は、赤の部分です。

つまり、

7 + 3A + 8 + 7

= 3A + 22

の答えの末桁が９であればいいということです。

3A + 22が９で終わるようなAを考えると、Aは、１の位に9をもつ自然数（9, 19, 529, etc）であれば何でもよいことがわかります。

問題より求められている解答は一つであるので、

たとえば、A = 9　を選ぶと、

a = 10A + 9より、

a =　99

したがって、求める自然数のひとつは、

10a + b

= 99*10 + 9

= 999

です。

答：999

ためしに、999を三乗してみると997002999と、めでたく下三桁が999になりました。＼(^o^)／